Геометрический смысл.

. Пусть . Тогда . Фиксируем ,.

,

Пусть касательная плоскость к поверхности в точке .

Пусть точка , .

удовлетворяет уравнению

Геометрический смысл:

геометрически равен приращению аппликаты точки

касательной плоскости, если переменным

приданы приращения .

Если функция дифференцируема в точке , то .

 

БИЛЕТ 10.Неявные функции одной переменной. Теорема о существовании неявной функции.

Определение:говорят, что уравнение определяет однозначную неявную функцию в промежутке , если единств. :

Замечание:

явное задание функции: , неявное: .

Теорема(о существовании неявной функции):

Пусть:

1) определена и непрерывна в некоторой области:

,

2).

3). является строго монотонной по

Тогда существует некоторая окрестность точки , в которой

а) существует однозначная функция

б)

в) функция непрерывна в этой окрестности точки

 

Доказательство:

,

Строим :. Пусть функция монотонно возрастает

при фиксированном для определенности. В частности,

при

1)

2) непрерывна -окрестность точки :

, .

Рассмотрим произвольное значение

. Строим вертикальный отрезок

, .

Рассмотрим , непрерывна, имеет на концах отрезка различные знаки

,

 

Аналогично найдем и причем единственное соответствующее значение

. Построена однозначная функция , . Докажем непрерывность .

Фиксируем . Необходимо доказать, что , лишь только . Рассмотрим . Строим с центром в этой точке прямоугольник

, . Аналогично проделанному выше найдем , при .

Существует однозначная функция : . В силу самого построения функция непрерывна в точке .

Докажем, что непрерывна не только в точке, но и в окрестности этой точки.

Рассмотрим точку . Точка удовлетворяет всем требованиям, накладываемым в условии теоремы.

Если есть точкав точке функция тоже непрерывна. (функция та же самая в силу однозначности) непрерывна в окрестности точки .

 

Замечание: Теорема утверждает, что существует некоторая малая окрестность точки , в которой определена и непрерывна неявная функция , эта окрестность может быть существенно меньше исходной.

 

 

БИЛЕТ 11.Неявные функции одной переменной. Теорема о дифференцируемости неявной функции.

Определение:говорят, что уравнение определяет однозначную неявную функцию в промежутке , если единств. :

Замечание:

явное задание функции: , неявное: .

Теорема(о дифференцируемости неявной функции).

Пусть:

1) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки .

.

2)

3) существуют и непрерывны в .

4) .

Тогда существует окрестность точки в которой

а) существует - однозначная неявная функция.

б)

в) непрерывна в этой окрестности

г) дифференцируема в этой окрестности, более того - непрерывная функция.

Доказательство:

, -непрерывнасуществует некоторая окрестность точки , где , сохраняет знак. Пусть для определенности . Тогда в этой новой окрестности монотонна возрастает по для фиксированного значения можно применить теорему о существовании неявной функции в некоторой окрестности точки уравнение определяет однозначную неявную функцию . новой окрестности точки . Фиксируем , где .

 

Но имеет в непрерывные частные производные по теореме о достаточном условии дифференцируемости, функциядифференцируема в дифференцируема и в новой найденной окрестности точки , , где при .

. Пусть (тогда и , так как непрерывная функция ).

, Существует - непрерывная функция в любой точке новой окрестности точки .

 

БИЛЕТ 12. Неявные функции нескольких переменных, определяемые одним уравнением и системой уравнений. Определение, теоремы о существовании ( без доказательства )

 

в области , , если из данной области единственное значение , .

 

Теорема (без доказательства):

Пусть

1) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки

2)

3) существуют и непрерывны все частные производные первого порядка: в точке

.

4). в точке

Тогда существует окрестность точки .

а) уравнение 2) определяет однозначную функцию

б)

в) - непрерывна в этой окрестности

г) существуют непрерывные частные производные в этой окрестности.

 

БИЛЕТ 12.

(х)

Определение: говорят, что система (х) определяет однозначных неявных функций в -мерном параллелепипеде.

Если наборе : .

Определение: данная матрица называется матрицей Якоби системы функций по переменным .

.

Определитель матрицы Якоби называется якобианом системы функций по переменным :

.

Теорема:

Пусть

1) в некоторой окрестности точки функции определены и непрерывны.

2)

3) Существуют и непрерывны частные производные 1-го порядка по всем переменным:

в этой окрестности.

Тогда существует окрестность точки

а) система уравнений (х) определяет однозначных неявных функций

б)

в) - непрерывные функции от переменных

г) ),…,)- дифференцируемы в этой окрестности.

 

Замечание: (2)(в) сохранили в) для единообразия.

 

Замечание: Во всех теоремах о существовании неявных функций утверждается лишь существование малой окрестности, в которой неявная функция определена и существует. Эта окрестность может оказаться гораздо меньше исходной.

 

БИЛЕТ 13. Формула Тейлора для ФМП.

 

Пусть есть функция . Если переменных больше, чем две, то теорема, аналогично доказанной ниже, также верна.

 

Теорема (Тейлора). Пусть имеет частные производные до -го порядка, непрерывные в некоторой окрестности точки . Тогда справедлива формула Тейлора:

, где в берутся в точке , , , в производные берутся в точке

, но ,

 

Доказательство: Рассмотрим функцию по одной переменной

, где ,.

-сложная функция, зависит от через .

-линейные функции, для которых все дифференциалы порядка выше 1-го сохраняют свою форму.

Функция имеет непрерывную производную можно применить формулу Тейлора в окрестности точки

, где , .

Имеем: , ,

, где

……………….

. Таким образом,

.

Замечание: аналогично тому, что было доказано в прошлом семестре,

- остаточный член в формуле Лагранжа.

можно выписать в формуле Пьяно

, где

 

БИЛЕТ 14. Экстремум ФМП. Определение, теорема о необходимых условиях экстремума.

 

Определение: говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если существует окрестность точки , для всех точек которой выполняется .

В случае строгого неравенства такой максимум (минимум) называется строгим. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

 

Теорема (о необходимом условии экстремума):

Пусть точка -точка экстремума для . Пусть функция имеет конечные частные производные 1-го порядка по всем переменным в точке . Тогда все частные производные 1-го порядка равны нулю в точке : .

Доказательство:

, -точка экстремума, пусть для определенности -точка максимума. Рассмотрим функцию одной переменной . Очевидно, что функция имеет максимум в точке по теореме Ферма . Но

.

Аналогично доказывается, что .

 

Замечание: Необходимое условие экстремума можно записать в виде , если -точка экстремума.

Замечание: Точки, в которых частные производные 1-го порядка существуют и равны нулю называются стационарными точками. Стандартные точки являются «подозрительными» на наличие экстремума.

Экстремум может быть не только в стационарных точках. (Пример- конус , для

него минимум в точке

 

Поэтому необходимо рассматривать точки, в которых частные производные 1-го порядка не существуют или равны . В этих точках тоже может быть экстремум.

 

БИЛЕТ 15. Теорема о достаточных условиях наличия экстремума ФМП.

Определение: говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если существует окрестность точки , для всех точек которой выполняется .

В случае строгого неравенства такой максимум (минимум) называется строгим. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

 

Напоминание:

-квадратичная форма. Квадратичная форма называется положительноопределенной (отрицательноопределенной), если , причем.

Матрица квадратичной формы :

, ,…, -главные миноры.

Критерий Сильвестра:

1) Квадратичная форма является положительноопределенной, тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы положительны.

2) Квадратичная форма является отрицательноопределенной, тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы имеют чередующиеся знаки, причем .

 

{в точке }(кв.форма от дифференциалов), где .

 

Теорема (о достаточном условии экстремума).

Пусть

1) в некоторой окрестности точки существуют и непрерывны частные производные по всем переменным до 2-го порядка включительно.

2) - стационарная точка , то есть .

Тогда, если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то имеет минимум (максимум) в точке .

Доказательство:

Существуют непрерывные производные до 2-го порядка включительно в окрестности точки можно применить формулу Тейлора. Выпишем разложениев окрестности точки :

. Здесь лежит на -мерном отрезке, соединяющем точки и . Пусть для определенности ,

{так как непрерывны в точке }=

=={} = .

Получили, так как:

- не все равные нулю, так как

при ,

-непрерывна функция переменных , опред.на сфере достигает точки нижней грани, которая >0, так как

Слагаемое (так как граница)

в точке по определению минимум.

Аналогично доказывается, что если -отрицательно определена, то в точке максимум.

 

БИЛЕТ 16.Теорема о достаточных условиях отсутствия экстремума ФМП. Алгоритм поиска точек экстремума.

 

Определение: говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если существует окрестность точки , для всех точек которой выполняется .

В случае строгого неравенства такой максимум (минимум) называется строгим. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

 

Пусть .

Теорема:

Пусть:

1) В некоторой окрестности точки существуют и непрерывны частные производные до второго порядка включительно.

2) - стационарная точка.

3) является знакопеременной квадратичной формой.

Тогда в точке экстремум отсутствует.

Доказательство:

. Пусть - стационарная точка (). Пусть .

-знакопеременная квадратичная форма.

.

 

Возьмем . Рассмотрим : ().

(- беск.м. при ;при ; ).

для некоторых точек окрестности точки .

Аналогично показывается, что для некоторых точек, достаточно близко лежащих к .

окрестности точки присутствует некоторые точки, в которых значение функции в точке нет экстремума.

Замечание:удобно использовать критерий Сильвестра для того, чтобы выяснить, является ли знакоопределенной.