Понятие модели

 

1.1.1. Системный подход к моделированию. При проектировании автоматизированных систем управления, разработке прикладных программных продуктов важно правильно поставить задачу проектирования, применяя методы системного анализа.

Системным анализом называют совокупность методов и приемов решения задач. Системный подход состоит в исследовании изучаемого объекта как системы, состоящей из взаимодействующих элементов, построении математической модели для объекта и исследовании ее методами математического моделирования с целью решения некоторых оптимизационных задач, задач управления или принятия решения. Поэтому постановка задачи проектирования требует знаний методов и средств системного анализа, а в арсенал средств системного анализа входит моделирование объекта.

При исследовании систем с применением системного подхода вначале необходимо построить модель, т.е. реальному объекту ставится в соответствие некоторый математический объект, называемый его моделью. Модель (modulus (лат.) - мера) есть объект-заменитель объекта-оригинала [1]. Модель обеспечивает изучение свойств оригинала, а моделирование есть замещение одного объекта другим объектом с целью получения информации о свойствах объекта-оригинала. Теория замещения объектов называется теорией моделирования. Моделирование объекта может быть математическим, в виде построения некоторого макета объекта, натурным и имитационным.

Математическое моделирование связано с нахождением математической схемы, описывающей функционирование объекта и его взаимодействие с внешней средой. Математическое моделирование имеет ряд достоинств. Это точная воспроизводимость численных экспериментов, их гибкость и экономичность, возможность значительного сокращения времени моделирования по сравнению с временем выполнения реальных экспериментов на промышленном объекте.

Моделирование может предусматривать построение макета объекта. Макет объекта может быть реализован в виде принципиальной электрической схемы, изготовления устройства, отображающего функционирование объекта или построение макетов (самолеты), моделей одежды и прочее. Данный вид моделирования не является предметом исследования в данной работе.

Натурное моделирование предусматривает проведение экспериментов непосредственно на объекте. Высокая стоимость натурных экспериментов с промышленными объектами ограничивает возможность этого вида моделирования при проведении исследований.

Имитационное моделирование является методом моделирования объектов и процессов на ЭВМ. При моделировании на ЭВМ вырабатывается информация, описывающая элементарные явления исследуемого процесса с учетом их связей и взаимных влияний. Получаемая информация о состояниях процесса используется для определения тех характеристик процесса, которые нужно получить в результате моделирования.

Моделирующий алгоритм приближенно воспроизводит реальный процесс во времени. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным получить сведения о состоянии процесса в произвольные моменты времени. Сущность имитационного моделирования состоит в реализации на ЭВМ специального алгоритма, который воспроизводит формализованный процесс сложной системы.

Имитационное моделирование представляет собой определенную последовательность этапов решения задач:

- изучение реальных систем;

- составление содержательного описания процесса функционирования;

- формулировка цели исследования; выбор основных критериев функционирования;

- разбиение сложной системы на подсистемы;

- построение формализованной схемы процесса функционирования;

- построение математической модели системы;

- планирование эксперимента и сбор исходных данных;

-составление рабочей программы с учетом особенностей машины;

- отладка программы;

- осуществление моделирования;

- обработка результатов;

- выработка рекомендаций.

Моделирование - творческий процесс, требующий определенного искусства, математических знаний, практических навыков и умения предвидеть результат исследований. Поиск модели объекта связан с понятием формализации, т.е. математическим, алгоритмическим или каким-либо другим видом задания модели.

Формализация объекта и разработка адекватных математических моделей – начальная часть работ по моделированию систем самого разного назначения.

Формализация любого объекта или процесса содержит три этапа: содержательное описание, построение формализованной схемы процесса, построение математической модели процесса.

Содержательное описание в словесном выражении концентрирует сведения о физической природе и характеристиках элементарных явлений исследуемого объекта или процесса, о степени и характере взаимодействия между ними, месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования рассматриваемой реальной системы.

Тщательное изучение объекта сводится к наблюдению и фиксации количественных характеристик при проведении натурного эксперимента. Если система проектируется, то при описании используют накопленный опыт и результаты наблюдения за процессами функционирования аналогичных систем. Материалы описания содержат постановку задачи моделирования, перечень искомых величин с указанием их практического предназначения и требуемой точности, исходные данные для исследования.

Формализованная схема процесса является промежуточным звеном между содержательным описанием и математической моделью. Разрабатывается в том случае, когда из-за сложности исследуемого процесса или трудностей формализации некоторых его элементов непосредственный переход от содержательного описания к математической модели оказывается невозможным или нецелесообразным.

Для построения формализованной схемы необходимо выбрать характеристики процесса, установить систему параметров, определяющих процесс, строго определить все зависимости между характеристиками и параметрами процесса с учетом тех факторов, которые принимаются во внимание при формализации. На этом этапе построения формализованной схемы должна быть дана точная математическая формулировка задачи исследования с указанием перечня искомых величин и оцениваемых зависимостей. К формализованной схеме прилагается систематизированная и уточненная совокупность всех исходных данных, известных параметров процесса и начальных условий. Формализованная схема подводит итог изучению, экспериментальному исследованию процесса и преобразовывается в математическую модель без притока дополнительной информации о процессе. Необходимо записать в аналитической форме все соотношения, выразить логические условия.

Начало формализации объекта состоит в следующем. Объект функционирует в некоторой среде. Среда воздействует на объект, а объект воздействует на среду. Hа объект могут подаваться управляющие параметры (сигналы). Объект характеризуется вектором состояний Z, называемым еще вектором конструктивных параметров. Формально это отображают схемой, приведенной на рис. 1.1, где Х, Y, F - векторы входных, выходных и возмущающих сигналов.

Рис. 1.1

 

1.1.2. Классификация моделей. Существует много определений понятия «модель» [1,2,3]. Определим математическую модель как упрощенное отображение существенных сторон реальной системы, выраженное в математической форме и позволяющее математически описать правило (оператор) преобразования входных Х сигналов в выходные Y:

Y=W(Х), (1.1)

где W – некоторая математическая модель системы.

Под символом W(.) понимаются любые математические действия (алгебраические операции, дифференцирование, интегрирование, решение функциональных уравнений и т.д.). Оператор W представляет собой совокупность математических и логических операций, позволяющих установить соответствие между входными и выходными сигналами. В простейшем случае оператор модели преобразует векторную функцию Х(t) в векторную функцию Y(t). Модели подобного типа называются динамическими (временными).

При выполнении классификации моделей исходят из существующих подходов к классификации систем, т.к. модель, по сути, является отражением системы в форме, выбранной исследователем. При классификации моделей обычно рассматривают зависимости между состояниями и параметрами сложной системы, которые в выбранной аналитической форме являются моделями. Математические модели делятся на два основных класса: детерминистические модели и стохастические модели.

Детерминистические модели - модели тех систем, в которых существует однозначное соответствие для каждого момента времени между входными параметрами, состояниями и выходными параметрами. Иными словами, каждому набору входных параметров и набору состояний соответствует единственный выходной параметр в скалярной или векторной форме представления.

Стохастические модели - модели тех объектов, в которых изменение состояния и выхода задается в виде вероятностного распределения, т.е. каждому набору входных параметров и набору состояний соответствует вероятностное распределение значений выходного параметра.

Для изучения математических моделей могут быть применены разные способы, применение которых позволяет делить модели на аналитические и имитационные.

Аналитические модели представляют собой некоторые математические схемы в виде алгебраических, дифференциальных, конечно-разностных уравнений или иных аналитических зависимостей выходного параметра от входных параметров и состояний. Аналитические модели исследуются следующими способами:

- аналитически, когда стремятся получить в явном виде зависимости для искомых величин;

- численно, когда нет метода решения уравнения в общем виде, но можно получить результаты при конкретных начальных условиях;

- качественно, когда нет решения в явном виде, но можем найти некоторые свойства решения (оценить устойчивость и т.п.).

В тех случаях, когда аналитическое описание системы получить не удается, применяется алгоритмическое описание процесса ее функционирования или строится моделирующий алгоритм, предназначенный для реализации на ЭВМ.

Модели делятся на стационарные, когда структура и свойства оператора W(t) не изменяются со временем, и на нестационарные.

Реакция стационарной системы на любой входной сигнал зависит только от интервала времени между моментом начала действия входного сигнала (возмущения) и данным моментом времени. Процесс преобразования входных сигналов не зависит от сдвига входных сигналов во времени.

На рис. 1.2 приведен пример изменения выходного сигнала для стационарной и нестационарной системы.

 

Рис. 1.2

 

Для нестационарной системы изменение выходного сигнала y(t) зависит от моментов t_i подачи входного сигнала х(t_i) и времени t. При сдвиге входного сигнала во времени (без изменения его формы) выходные сигналы не только сдвигаются во времени, но и изменяют форму.

Модели делятся на модели безынерционных и инерционных (модели с запаздыванием или с предысторией) систем.

Безынерционные модели соответствуют системам, в которых оператор W определяет зависимость выходных величин от входных в один и тот же момент времени – y(t)=W(Х,t).

Винерционных системахзначения выходных параметров зависят не только от настоящих, но и предыдущих значений переменных

Y=W(Z,х_t,х_t-1,…,х_t-k), (1.2)

где х_t-i=х(t-i) - значение входного сигнала в момент времени t-i. Инерционные модели еще называют моделями с памятью.

Оператор преобразований может содержать параметры, которые обычно неизвестны - Y=W(Q,Z,Х), где Q={Q₁,Q₂,…,Q_k} - вектор параметров.

Модели, содержащие неизвестные параметры, называются параметрическими (например, обычные дифференциальные уравнения с неизвестными коэффициентами), в отличие от непараметрических моделей (например, модели типа интеграла свертки).

Важнейшим признаком структуры оператора является линейность или нелинейность по отношению к входным сигналам, поэтому модели делят на модели линейных и нелинейных систем. Для линейных системсправедлив принцип суперпозиции, который состоит в том, что линейной комбинации произвольных входных сигналов ставится в соответствие та же линейная комбинация сигналов на выходе системы

(1.3)

Математическую модель с использованием линейного оператора можно записать в виде Y=WХ. Если условие (1.3) не выполняется, модель называется нелинейной.

Классифицируются динамические модели в соответствии с тем, какие математические операции используются в операторе. Можно выделить: алгебраические, функциональные (типа интеграла свертки), дифференциальные, конечно-разностные модели и др.

Одномерной модельюназывается такая модель, у которой и входной сигнал, и отклик одновременно являются величинами скалярными.

В зависимости от размерности параметра Q модели подразделяются на одно- и многопараметрические. Классификация моделей может быть продолжена также в зависимости от видов входных и выходных сигналов.