АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Технологический институт

Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ»

 

В.И. ФИHАЕВ

Е.Н. ПАВЛЕНКО

Е.В. ЗАРГАРЯН

АНАЛИТИЧЕСКИЕ

И ИМИТАЦИОННЫЕ

МОДЕЛИ

 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов – «Автоматизированные технологии и производства» (специальность 210200 – «Автоматизация технологических процессов и производств (в энергетике))».

 

 

Таганрог 2007

 

УДК 518.5.001.57(075.8)

 

В.И.Финаев, Е.Н. Павленко, Е.В.Заргарян. Аналитичес-кие и имитационные модели: Учебное пособие. ‑ Таганрог: Изд-во Технологического института ЮФУ, 2007. - 310 с.

 

ISBN 978-5-8327-0268-1

 

Учебное поcобие пpедназначено для cтудентов высших учебных заведений, изучающиx дисциплины «Моделиpование cиcтем», «Компьютерное моделирование». В учебном пособии приведены основные теоретические положения и методы имитационного моделирования.

 

Табл. 8. Ил. 30. Библиогр.: 22 назв.

 

Рецензенты

Целых А.Н., д-р. техн. наук, профессор, директор регионального (областного) центра новых информационных технологий, проректор по информатике ТТИ ЮФУ.

Ромм Я.Е, д-р. техн. наук, профессор, заведующий кафедрой информатики ТГПИ.

 

 

ISBN 978-5-8327-0268-1 Ó Технологический институт Южного

федерального университета, 2007

Ó Финаев В.И., Павленко Е.Н.,

Заргарян Е.В., 2007

 

СОДЕРЖАHИЕ

 

ВВЕДЕHИЕ……………………………………..……. 6

1. КОНЦЕПЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ………...... 9

1.1. Понятие модели…………………………………….. 9

1.2. Концепции определения моделей……………….… 18

КЛАССИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МОДЕЛИ…………………………………………..……. 24

2.1. Примеры моделей в виде

дифференциальных уравнений…………………………. 24

2.2. Классические модели в виде

дифференциальных уравнений…………………………. 29

2.3. Инерционные модели…………………………...….. 33

2.4. Модели на основе передаточных функций……..… 38

2.5. Конечные автоматы…………………………………. 40

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

3.1. Математические модели случайных процессов..… 46 3.2. Классификация моделей случайных процессов..… 53 3.3. Модели марковских процессов………………….… 55

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ЭВМ………………………. 106

5.1. Выбор числа опытов……………………………….. 106

5.2. Значимость оценки…………………………………. 111

5.3. Формулы и алгоритмы для оценки

результатов моделирования…………………………….. 120

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ

АВТОМАТОВ…………………………………………... 132

6.1. Аналитическое определение

вероятностных автоматов…………………..…………... 132

6.2. Табличное задание функций переходов и выходов 136

6.3. Имитационное моделирование

вероятностных автоматов…………………..…………... 138

МОДЕЛИ СИСТЕМ

7.1. Общие сведения…..………………………………..... 147 7.2. Модель входного потока заявок и времени обслуживания…..…………………….……... 151

АЛГОPИТМИЗАЦИЯ ПPОЦЕCCОВ

ФУНКЦИОНИPОВАНИЯ CИCТЕМ………….……. 221

8.1. Моделиpующие алгоpитмы……………………..…. 221

8.2. Пpинципы поcтpоения моделиpующиx алгоpитмов

для cложныx cиcтем………………………………..……. 226

УНИФИЦИРОВАННЫЙ

9.1. Основные компоненты…………..…………………. 229 9.2. Понятия и компоненты…………..…………………. 231 9.3. Диаграммы вариантов использования ………….… 238

ВВЕДЕНИЕ

 

Компьютерное моделирование стало широко применяться после появления персональных компьютеров с графическим дисплеем, программного обеспечения, сделавших возможным появление современных визуальных инструментов моделирования. Вместе со строгим математическим описанием, позволяющим разрабатывать достаточно полные аналитические и алгоритмические модели, визуальное моделирование предполагает использование графической формы описания модели и зримого представления результатов исследования.

Основным элементом графического представления моделируемой системы в современных средах является структурная схема, построенная из образов отдельных компонентов, соединенных функциональными связями. Для представления результатов используется математическая графика, а также двух- и трехмерная анимация.

Моделирование направлено на решение задач и проведение исследований. При исследовании систем методами системного анализа необходимо построить модель, т.е. реальному объекту ставится в соответствие некоторый математический объект, называемый его моделью. Исследование модели позволяет получить рекомендации относительно поведения реального объекта [1, 2].

Моделирование - это творческий процесс, требующий определенного искусства, математических знаний, практических навыков и умения предвидеть результат исследований, поэтому при решении задач моделирования могут быть получены неоднозначные результаты [2, 3].

Работа проектировщика связана с аналитическим сравнением множества различных вариантов проектируемой системы при заданных ограничениях. Современные инструменты визуального моделирования предоставляют проектировщику новое средство проектирования - виртуальный испытательный стенд, который следует рассматривать, как некоторый специализированный набор программных продуктов для решения задач моделирования. Проектировщик на стенде может проводить эксперименты, используя ту же технологию, что и на обычном испытательном стенде, но значительно быстрее.

В данном пособии не ставится задача обучения конкретным пакетам прикладных программ для решения задач моделирования, например, Matlab-Simulink-Stateflow, UML, Simulink, Stateflow, Model Vision Studium, Modeliсa, AnyLogiс и других.

Одним из современных направлений компьютерного моделирования является объектно-ориентированное моделирование, которое рассматривают как расширение языка проектирования сложных вычислительных систем — Unified Modeling Language (UML) [4].

В пособии излагается материал по дисциплине «Компьютерное моделирование» согласно государственному образовательному стандарту.

В первом разделе изложены основные концепции моделирования. Рассмотрена классификация моделей, тесно связанная с классификацией систем.

Во втором разделе рассмотрены классические схемы моделей в виде аналитического задания: модели в виде дифференциальных уравнений; модели в виде сумм и интегралов свертки; модели на основе передаточных функций; модели в виде конечных автоматов и приведена их алгоритмизация.

В третьем разделе приведено описание стохастических моделей объектов. Рассмотрены способы задания моделей объектов в виде стохастических распределений, классификация стохастических моделей, модели марковских процессов.

Чертвертый раздел позвящет имитационным моделям случайных событий. Формально определены датчики случайных чисел, приведены способы и алгоритмы генерации случайных величин, описано применение проверочных тестов. Рассмотрены алгоритмы имитации марковских процессов.

В пятом разделе приведен материал, связанный с обработкой результатов моделирования на ЭВМ. Рассмотрены тербования к выбору числа реализаций, задачи значимости оценки, формулы и алгоритмы для оценки результатов моделирования.

В шестом разделе приведено аналитическое определение вероятностных автоматов, а также алгоритмы для их имитационного моделирования.

Седьмой раздел посвящен аналитическому моделированию и алгоритмизации систем массового обслуживания.

В восьмом разделе изложены принципы поcтpоения моделиpующиx алгоpитмов процессов функционирования систем.

В девятом и десятом разделах изложены основные сведения об унифицированном языке моделирования UML, об объектно-ориентированном моделировании. За основу взяты материалы работы [4].

 

 

КОНЦЕПЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

 

Понятие модели

1.1.1. Системный подход к моделированию. При проектировании автоматизированных систем управления, разработке прикладных программных продуктов важно… Системным анализом называют совокупность методов и приемов решения задач.… При исследовании систем с применением системного подхода вначале необходимо построить модель, т.е. реальному объекту…

Концепции определения моделей

При моделировании динамической системы применяют следующие механизмы: - описание изменения состояний под действием внутренних причин (без… - описание приема входного параметра и изменения состояния под действием этого параметра (модель в виде функции…

КЛАССИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Примеры моделей в виде дифференциальных уравнений

2.1.1. Модель электрического колебательного контура. Классические разделы высшей математики связаны с решением и исследованием дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения нашли широкое применение при моделировании технических, социальных, экономических и других систем.

Классическая теория автоматического управления применяет модели объектов в виде дифференциальных уравнений и позволяет решать задачи управления, исследуя дифференциальные уравнения [5]. Вид уравнений может быть очень сложным и для решения и исследования моделей, заданных дифференциальными уравнениями, применяется компьютерное моделирование. Применяют специальные пакеты прикладных программ, например MatLab, Omola, Dymola, Dymosim, Model Vision Studium, язык UML и другие.

Колебательный контур, известный в электротехнике, представляют в виде схемы, приведенной на рис. 2.1. Определены параметры колебательного контура:

- С– емкость конденсатора;

- L– индуктивность катушки;

- U_С(t)– напряжение на конденсаторе;

- I_L(t)– ток в катушке;

- U(t)_ИСТ– напряжение внешнего источника.

Определим модель колебательного контура, которая позволит моделировать колебательный процесс в контуре.

 

 

Рис. 2.1

 

В соответствии с законом Кирхгофа запишем следующие соотношения:

, .

Введем координаты z₁=U_С, обозначим U_ИСТ/L=х(t) и получим систему дифференциальных уравнений:

, _. (2.1)

Если U_ИСТ=0, то х(t)=0 и система (2.1) описывает свободные колебания. Рассматривая х(t) как сигнал управления, получим описание динамики колебаний в каждый момент времени t. Решая систему (2.1), можно получить аналитический вид функций z₁(t) и z₂(t).

Если рассматривать U(t)_ИСТ как единичное ступенчатое воздействие, R - внутреннее сопротивление источника, то можно показать, что напряжение на конденсаторе С будет изменяться по формуле [6]:

, (2.2)

где , , .

Дальнейшее исследование модели связано с разработкой программы, которая будет рассчитывать и выводить график функции U_С(t) в зависимости от параметров R, L и С, тем самым позволяя исследовать время переходного процесса (время затухания колебаний) в данном контуре.

2.1.2. Модель размножения микроорганизмов.Из результатов изучения развития популяций микроорганизмов известно, что скорость размножения микроорганизмов пропорциональна числу уже имеющихся на данное время. Рассмотрим моделирование процесса роста популяций микроорганизмов.

Пусть E(t) - число особей в момент времени t. Скорость размножения определим как отношение величины E(t+∆t)-E(t) к величине Dt при Dt®0. Исходя из этого условия, получим уравнение в частных приращениях (модель роста популяций в частных приращениях):

Переходим к предельному выражению

и получаем модель роста популяций микроорганизмов в виде дифференциального уравнения (общий вид):

. (2.3)

Решая дифференциальное уравнение (2.3), можно получить аналитическое уравнение роста популяций и провести исследования. При начальных условиях t=0, E(t=0)=E₀ получим решение модели роста популяций в виде аналитического выражения

E(t)=E₀e^kt. (2.4)

Вид уравнения (2.4) показан на рис. 2.2.

 

Рис. 2.2

 

Если при t=0 начальное число популяций микроорганизмовE=E₀, то можно определить время Т, за которое число особей удвоится по формуле

2E₀=E₀e^kt, ® 2=e^kT, ® T=(1/k)ln2.

Заметим, что при получении этой модели не учитывалось ограничение, связанное с требуемым количеством питательных средств для существования микроорганизмов, а также воздействия внешней среды (например, иммунные силы организма).

2.1.3. Модель динамики боя. Проведение военных сражений связано с расчетами, поэтому разрабатывают модели боевых действий [2].

Пусть m₁ - число боевых единиц красных; m₂ - число боевых единиц синих, сохранившихся непораженными к моменту времени t; λ₁ - средняя скорострельность для одной боевой единицы красных; λ₂ - средняя скорострельность для одной боевой единицы синих. Цели поражаются с вероятностью р₁ - красными и вероятностью р₂ - синими. Рассмотрим модель, отображающую динамику боя.

Интенсивности успешных выстрелов определятся как

L₁=λ₁р₁, L₂=λ₂р₂.

Число выведенных боевых единиц красных Dm₁ за время Dt составит λ₂р₂Dtm₂, а число выведенных из строя боевых единиц синих Dm₂ за время Dt составит λ₁р₁Dtm₁, Тогда

Dm₁=-λ₂р₂Dtm₂, Dm₂=-λ₁р₁Dtm₁. (2.4)

Уравнения (2.4) - модель динамики боя в частных приращениях. От уравнения (2.4) осуществим переход к дифференциальным уравнениям.

Разделив правую и левую части на Dt, получим

, .

Взяв пределы при Dt®0, получим дифференциальные уравнения, моделирующие динамику боя

_, (2.5)

Уравнения (2.5) называются уравнениями Ланчестера.

2.1.4. Модель движения ракеты. Движение ракеты, запускаемой в космос, описывается её координатами х и y, проекциями вектора скорости V на координатные оси V_Х и V_Y. Пусть m - масса ракеты; u величина тяги; j - угол между направлением тяги и осью 0х; f(u) - секундный расход массы. Рассмотрим построение модели, отображающей динамику полета.

Проекции скоростей являются производными от движения по координатам, следовательно

, .

В соответствии с уравнением Ньютона запишем:

.

Расход массы определится уравнением

.

Таким образом, моделью движения ракеты является система уравнений:

при начальных условиях х(t₀)=х₀, y(t₀)=y₀, m(t₀)=m₀, V_х(t₀)=V_х0, V_y(t₀)=V_y0.

Управление траекторией ракеты осуществляется за счет регулирования величины и направления силы тяги двигателя,U и j - управляющие параметры.

Во всех приведенных выше примерах применение компьютерного моделирования сводится к получению аналитических уравнений, программированию с целью получения решений при заданных наборах входных параметров, визуализации результатов решения.

 

Классические модели в виде дифференциальных уравнений

 

Дифференциальные уравнения описывают процесс перехода динамической системы из одного состояния в другое и изменение выходного параметра. Могут рассматриваться системы, в которых моделируют только изменение состояний или только изменение выходного параметра. Могут рассматриваться системы, в которых моделируют изменение и состояний, и выходного параметра. Математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы и носят название D-схем от английского слова dynamic (динамика).

Пусть входные параметры (сигналы, координаты и прочее) заданы множеством Х(t)={х₁(t),х₂(t),...,х_m(t)}, а выходные параметры заданы множеством Y(t)={y₁(t),y₂(t),..., y_r(t)}. Модель динамической системы, определяемая обыкновенными дифференциальными уравнениями в общем виде, задается следующим образом.

Задают дифференциальные уравнения, определяющие движение системы в пространстве состояний

.(2.6)

Каждое i-е дифференциальное уравнение задается в общем виде функцией f_i, зависящей от времени t, компонент вектора состояний Z={z₁(t),z₂(t),…,z_n(t)} и компонент вектора входных параметров Х(t)={х₁(t),х₂(t),...,х_m(t)}. Задают соотношения, определяющие изменение выходных параметров

. (2.7)

Для решения дифференциальных уравнений системы (2.6), определения изменения во времени выходных параметров необходимо для момента t(0)=t₀ задать начальные состояния ,

а также функции, определяющие изменения во времени компонент вектора входных параметров Х(t) на полуинтервале (t₀,t]:

.

Если для каждого уравнения системы (2.6) выполнены условия существования и единственности решений, то эти решения в общем случае имеют вид

.(2.8)

Обозначим решения системы дифференциальных уравнений (2.6), проходящие в момент времени t₀ через точку , символом F. Тогда модель в виде функции переходов для динамической системы будет задана в общем виде уравнением

. (2.9)

Эта функция каждому набору ставит в соответствие то состояние Z(t), в которое переходит система за время перехода t-t₀ из фазы (t₀,Z₀) под действием входных параметров .

Модель динамической системы в виде функции выходов в общем виде будет определена уравнением

(2.10)

в котором оператор G каждому набору сопоставляет выходной сигнал y_t=y(t).

Дифференциальные уравнения классифицируются на линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, уравнения первого и более высокого порядка, а также одномерные и многомерные.

Если модель предназначена для описания изменения состояния z(t) динамической системы, то модель в виде обыкновенного линейного дифференциального уравнения q-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, выраженной через производные от управляющих функций, задается в следующем виде:

(2.11)

Если применить оператор дифференцирования , то с учетом аддитивной ошибки v(t) уравнение (2.11) запишется в виде

z(р)=l^-1(р)m(р)х(р)+v(р),

где l^-1(р)=р^q-l₁р^q-1-l₂р^q-2-…-l_q, m(р)=m₀р^r+m₁р^r-1 + … + m_r.

Модели в виде многомерных дифференциальных уравнений в форме Коши находят наибольшее применение. Они описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши, т.е. разрешенными относительно первых производных. Для стационарной линейной системы, параметры которой изменяются непрерывно во времени, модель в общей форме имеет следующий вид:

.(2.12)

В уравнении (2.12): Z={z₁(t),z₂(t),…,z_n(t)}- вектор состояний; Х(t)={х₁(t),х₂(t),...,х_m(t)} – вектор входных параметров; Y(t)={y₁(t),y₂(t),..., y_r(t)} – вектор выходных параметров; W={w₁(t),w₂(t),…,w_n(t)}- вектор шума системы; - транспонированный вектор производных от переменных состояния; матрицы Ф, G, H и Г имеют размерности, зависящие от размерностей векторов Z, Х(t), Y(t), W. Коэффициенты матриц Ф, G, H и Г имеют смысл коэффициентов передачи, для стационарной системы не зависят от времени и подлежат оцениванию. Параметры могут входить и в начальное условие, которое необходимо добавить для решения первого уравнения (2.12).

Модель для нестационарной линейной непрерывной системы отличается от (2.12) тем, что матрицы Ф, G, H и Г будут зависеть от времени.

Непрерывная нелинейная система может быть описана моделью

(2.13)

Векторные функций j(…), y(…) и матрица Г(...) предполагаются известными с точностью до параметров, подлежащих оцениванию. Применяя преобразования Лапласа, можно перенести описание из временной области в область изображений по Лапласу.

Компьютерное моделирование систем, описываемых многомерными дифференциальными уравнениями в форме Коши, осуществляется с применением пакетов программ. Широко используется подсистема Simulink пакета MatLab. При моделировании определяется вид дифференциального уравнения, задаются начальные условия. Результаты решения отображаются визуально в виде цифровых данных, а также в виде графических данных.

Инерционные модели

2.3.1. Дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами. В общем случае дифференциальные уравнения n-го порядка с запаздывающим аргументом… .(2.14)

Модели на основе передаточных функций

Дискретное Z-преобразование решетчатой функции v(n)=vnзадается в следующем виде . Применяя одностороннее Z-преобразование к левой и правой части этого выражения, получаем

Конечные автоматы

В каждый момент ti(i=1,2,...) на вход конечного автомата поступает входной параметр - одна из букв х(ti) входного алфавита Х, а на выходе существует… Автомат формально определен набором A=<Х,Z,Y,z0,j,y>,

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ

3.1. Математические модели случайных процессов При проведении научных исследований в производстве и в быту часто встречаются… Закономерность рассеивания, выраженная функцией распределения вероятностей, носит общий характер.

Классификация моделей случайных процессов

 

Случайные процессы делятся на следующие широкие классы: гауссовы процессы; процессы с независимыми приращениями; стационарные в широком смысле; марковские процессы.

3.2.1. Модели на базе гауссовых случайных функций. Важную роль во многих прикладных вопросах играют случайные функции, конечномерные распределения которых являются гауссовыми (нормальными). Определение многомерного гауссова распределения следующее.

Определение. Случайный вектор X=(X₁,X,...,X_n) имеет гауссово (нормальное) распределение, если характеристическая функция распределения представима в виде

j(u)=M{eхр[j(u,x)]}=eхр[j(m,u)-0,5R(u,u)],

где m=(m₁,m₂,…,m_n), u=(u₁,u₂,…,u_n) - векторы, R - неотрицательно-определенная вещественная симметричная матрица, R=||rij||, i,j=1,n. Здесь (a,b) обозначает скалярное произведение векторов aи b, так, что

, .

3.2.2. Модель процессов с независимыми приращениями. Пусть T - конечный отрезок T=[0,a] или T=[0,¥].

Определение. Случайный процесс {X(t), tÎT} со значениями в евклидовом пространстве Rⁿ называется процессом с независимыми приращениями, если для любых n, таких, что 0<t₁<t₂<...<t_n, случайные векторы X(0), X(t₁)-X(0),...,X(t_n)-X(t_n-1) - взаимно независимы.

Вектор X(0) называется начальным состоянием (значением) процесса, а его распределение - начальным распределением процесса. Чтобы задать процесс с независимыми приращениями в широком смысле, достаточно задать начальное распределение Р0(B)=Р{X(0)ÎB} и набор распределений Р(t,h,B) - распределений вектора Р{X(t+h)-X(t)}ÎB.

Процесс с независимыми приращениями называется однородным, если распределения вектораX(t+h)-X(t) не зависят от t, Р(t,h,B)=Р(h,B).

3.2.3. Модель процессов, стационарных в широком смысле. Стационарные процессы - это такие процессы, теоретико-вероятностные характеристики которых не изменяются со временем. Пусть T=[0,a]илиT=[0,¥).

Определение. Модель случайного процесса (в широком смысле) {X(t), tÎT} со значениями в Rⁿ называется стационарной, если для любого n и любых t₁,t₂,...,t_т, таких, что t_k+tÎT, (k=1,n), совместное распределение случайных векторов, описывающих случайный процесс X(t₁+t),...,X(t_n+t), не зависит от t.

Имеются задачи, относящиеся к теории стационарных процессов, решение которых может быть выражено через моменты первого и второго порядков рассматриваемых процессов, т.е. многие задачи можно решать, находя моменты первого и второго порядков. Целесообразно определить класс процессов, моменты первого и второго порядков которых обладают свойствами стационарности.

Определение. Случайный процесс X(t), t>0 со значениями в пространстве Rⁿ называют процессом, стационарным в широком смысле, если M[X(t)]²<¥и M[X(t)]=m=сonst, M[X(t)-m][X(s)-m]=R(t-s), (t>s), где R(t) - непрерывная матричная функция.

Функцию R(t) называют корреляционной (матричной) функцией процесса X(t). В качестве примера стационарных в широком смысле процессов можно рассмотреть колебания со случайными параметрами.

3.3. Модели марковских процессов

 

Наибольшее распространение в теории систем, как вероятностная схема описания, получили марковские процессы, представляющие собой типичную вероятностную модель «без последействия».

Представим себе систему, которая может находиться в разных состояниях. Возможные состояния образуют множество Х, называемое фазовым пространством. Пусть система эволюционирует во времени. Состояние системы в момент времени t обозначим через х_t. Еслих_tÎB, где BÎХ, то будем говорить, что система в момент времени t находится во множестве B. Предположим, что эволюция системы носит стохастический характер, т.е. состояние системы в момент времени t не определяется однозначно через состояние системы в моменты времени s, предшествующие t, где s<t, а является случайным и описывается теоретико-вероятностными законами.

Пусть Р(s,х,t,B) - вероятность события х_tÎB (s<t), при условии, что х_s=х. Функцию Р(s,х,t,B) называют вероятностью перехода рассматриваемой системы. Под системой без последействия понимают систему, для которой вероятность попадания в момент времени t во множество B, при полностью известном движении системы до момента времени s (s<t), по-прежнему равна Р(s,х,t,B) и, таким образом, зависит только от состояния системы в последний момент времени.

Обозначим через Р(s,х,u,y,t,B) условную вероятность события х_tÎB при гипотезах х_s=х, х_u=y (s<u<t). В соответствии с общими свойствами условных вероятностей имеет место равенство

. (3.3)

Для системы без последствия естественно предположить, что

Р(s,х,u,y,t,B)=Р(u,y,t,B).

Тогда равенство (3.3) примет вид

.(3.4)

Соотношение (3.4) называется уравнением Колмогорова-Чепмена. Это уравнение определяет модель марковского процесса.

Пусть {Х,B}-некоторое измеримое пространство. Функцию Р(х,B), хÎХ, BÎB, удовлетворяющую условиям:

а) Р(х,B) при фиксированном х является мерой на B иР(х,Х)=1;

б) при фиксированном B Р(х,B) является B - измеримой функцией от х будем называть стохастическим ядром.

Пусть I - некоторый конечный или бесконечный полуинтервал (отрезок). Семейство стохастических ядер {Р_st(х,B)=Р(s,х,t,B), s<t, (s,t)ÎI´I}, удовлетворяющих уравнению Колмогорова-Чепмена (3.4), будем называть марковским семейством стохастических ядер.

Определение. Моделью марковского процесса в широком смысле называется совокупность следующих объектов:

- измеримое пространство {х, B};

- полуинтервал I (отрезок) действительной оси;

- марковское семейство стохастических ядер {Р_st(х,B), s<t, (s,t)ÎI´I}.

Семейство ядер Р_st(х,B)=Р(s,х,t,B) называют вероятностью перехода марковского процесса, пространство {х,B} - фазовым пространством системы, точка множества Iинтерпретируется как моменты времени, а величина Р_st(х,B)=Р(s,х,t,B) - как условная вероятность того, что система в момент времени t окажется во множестве B, если в момент времени s она находилась в точке х фазового пространства(s<t).

Дискретные случайные процессы, обладающие марковскими свойствами, называются цепями Маркова. В фазовом пространстве простейшими марковскими процессами являются процессы со счетным или конечным числом состояний. В фазовых пространствах выделяются следующие классы марковского процесса.

Скачкообразные процессы. Система, попадая в некоторую точку фазового пространства, проводит в ней случайный положительный отрезок времени, после чего скачком случайно попадает в другую точку фазового пространства.

Процессы с дискретным вмешательством случая. Эти процессы моделируют динамическую систему, траектории которой в случайные моменты времени терпят разрывы первого рода со случайными скачками.

Диффузионные процессы. Так называют процессы в конечномерных линейных пространствах, которые на малых промежутках времени ведут себя аналогично процессу броуновского движения.

Марковские процессы в конечномерном пространстве, аппроксимируемые на малых промежутках времени произвольным процессом с независимыми приращениям.

 

ИМИТАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

Понятие статистического моделирования

В Советском Союзе первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955-1956 годах. Однако следует отметить, что теоретическая основа метода… Название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако,… Первоначально метод успешно применялся для решения задач ядерной физики - переноса нейтронов, расчета критичности…

Датчики случайных чисел

Появление высокопроизводительной вычислительной техники и развитых языков программирования упростило задачу создания эталонов. Датчики или… Строго говоря, для формирования случайных событий с различными функциями…  

Проверочные тесты

Тест частот. Отрезок [0,1] разбивается на m (обычно 10-20) равных интервалов, как это показано на рис. 4.6. Рис. 4.6

Имитация случайных событий

Пусть события S1, S2,..., Smобразуют полную группу несовместимых событий, каждое из которых может произойти с вероятностью Рi, причем . Это… Разбиваем отрезок [0,1] на m частей длиной Р1,Р2,...,Рm, при этом точки… ,

Имитация непрерывных случайных величин

F(Х<х)=Р{Х<х}. Вид функции распределения вероятностей приведен на рис. 4.16. Это монотонно… Плотность распределения вероятностей f(х), называемая еще дифференцированным распределением вероятностей, определяется…

Имитация марковского процесса

, (4.12) где Рij - вероятность перехода из состояния zi в состояние zj в некоторый… Начальное состояние марковского процесса определяется матрицей-строкой начальных вероятностей ||Р0||=|Р1(0), Р2(0),…

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ЭВМ

Выбор числа опытов

В инженерной практике известны критерии для оценки погрешности. Непрерывную (аналоговую) величину х(t) в ряде инженерных задач рассматривают как…  

Формулы и алгоритмы для оценки результатов моделирования

При реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ вырабатывается информация о состоянии моделируемых систем, которая представляет собой исходный… Если при моделировании учитываются случайные факторы, то в качестве оценок для… Р*(A)=m/N, (5.22)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ АВТОМАТОВ

Аналитическое определение вероятностных автоматов

Математический аппарат ВА применим для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное… Для формального описания ВА следует задать распределение начальных состояний,… Определение. Вероятностным автоматом называется математическая схема, которая задается следующим набором [7,14]:

Табличное задание функций переходов и выходов

 

Задание условных вероятностных мер Р(z_t,y_t/z_t-1,х_t)возможно как задание стохастического отображения Z´ХàZ´Yтабличным способом. В табл. 6.1 приведен вид совместного задания функций переходов и выходов.

Таблица 6.1

Совместное задание функций переходов и выходов

Z´Х	Z´Y
z1y1	z1y2	…	z1yr	…	zny1	zny2	…	znyr
z1х1			…		…			…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
z1хm			…		…			…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
znх1			…		…			…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
znхm			…		…			…

 

Элементы каждой строки табл. 6.1 должны быть нормированы, т.е.

.

Функция переходов может быть представлена как стохастическое отображение элементов множества Z´Х в элементы множества Z. В табл. 6.2 приведен общий вид задания функции переходов. Элементы каждой строки табл. 6.2 также отвечают условию нормирования, т.е.

 

Таблица 6.2

Задание функции переходов

Z´Х	Z
z1	z2	…	zn
z1х1			…
…	…	…	…	…
z1хm			…
…	…	…	…	…
znх1			…
…	…	…	…	…
znхm			…

 

Функция выходов может быть представлена как стохастическое отображение элементов множества Z´Х´Z в элементы множества Y.

В табл. 6.3 приведен общий вид задания функции выходов. Элементы каждой строки табл. 6.3 отвечают условию нормирования, т.е.

.

Таблица 6.3

Задание функции выходов

Z´Х´Z	Y
y1	y2	…	yn
z1х1z1			…
…	…	…	…	…
znх1zn			…
…	…	…	…	…
znхmz1			…
…	…	…	…	…
znхmzn			…

 

При применении аппарата вероятностных автоматов для решения задач моделирования сложных систем необходимо определить множества входных параметров, состояний и выходных параметров, определить функции переходов и выходов. Следующим этапом в моделировании будет идентификация значений вероятностей функций переходов и выходов и проверка адекватности найденной модели.

Имитационное моделирование вероятностных автоматов

Для имитации процесса функционирования ВА необходимо задать: - такты моделирования T, а также цикл по тактам моделирования от нуля до… - закон (правило) появления (генерации) входных параметров хtÎХ на входе ВА;

МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

 

Общие сведения

 

Моделирование объекта с применением математического языка систем массового обслуживания (СМО) предусматривает в процессе формализации выделение понятий: заявка (требование), поток заявок, прибор обслуживания, очередь на обслуживание, дисциплины выбора на обслуживание, закон обслуживания, поток обслуженных заявок, поток потерянных заявок.

Известна классификация, которая произведена, исходя из характеристик СМО. СМО классифицируют следующим образом [15 - 20]. По потокам заявок СМО делятся на СМО с однородным потоком и приоритетные СМО. По дисциплинам обслуживания СМО делятся на СМО с дисциплиной FIFO (первый пришел - первый обслуживается), СМО с дисциплиной LIFO (последний пришел - первый обслуживается), СМО со случайным выбором на обслуживание.

Исходя из того, каким временем на ожидание располагает заявка, СМО делятся на СМО с отказами, если эта величина времени ожидания равна нулю, смешанные СМО, если время ожидания является конечной величиной (СМО с ограниченной очередью), СМО с ожиданием, если время ожидания является бесконечной величиной (с бесконечной очередью).

По количеству и структурному расположению приборов обслуживания СМО делятся на одноканальные (рис. 7.1,а), n-канальные, если имеются n параллельно расположенных приборов (рис. 7.1,б), m-фазные СМО, если имеются последовательно расположенные m приборов (рис. 7.1,в), СМО смешанной структуры (рис. 7.1,г).

 

Рис. 7.1

 

Классификация может быть осуществлена, исходя из математических законов, описывающих математические модели потока входных заявок и времени обслуживания.

Моделирование систем с применением схем СМО предусматривает определение выходных параметров и параметров состояния, которые могут быть представлены как показатели эффективности СМО.

Моделью, описывающей функционирование системы, может служить описание времени задержки в системе. В виде моделей могут быть применены коэффициент использования СМО, вероятность того, что поступившая в СМО заявка застанет ее свободной от обслуживания, описание периода занятости системы, вероятность отказа на обслуживание, среднее число заявок в очереди, описание выходных потоков заявок, интегральные характеристики функционирования СМО.

Почему аппарат теории массового обслуживания широко применим при моделировании систем самого различного назначения?

Если это системы, связанные с обслуживанием клиентов, например в прачечной, химчистке, кассе и прочее, то здесь очевидно применение аппарата.

Моделями СМО адекватно моделируются процессы погрузки транспорта, стрельба по целям, передача информации по каналам связи, потоки транспортных средств, перевозка грузов, обработка деталей на станке и многие другие процессы функционирования разных систем.

Изготовление какого-либо изделия, состоящего из большого числа деталей, можно представить в виде модели СМО сложной структуры. Действительно, изготовление детали требует выполнение определенного множества последовательных операций на разных станках и, возможно, на разных производственных участках, например отливка, штамповка, а затем токарные операции. Все эти операции, выполняемые на разных станках разными рабочими, в результате позволяют представить структуру сложной СМО. Однако здесь при моделировании появляются математические сложности.

Математическую модель СМО в виде системы уравнений Эрланга [15 - 17], как наиболее простую аналитическую модель, можно получить при пуассоновском потоке заявок и экспоненциальном распределении времени обслуживания. Удобство пользования данной моделью ограничивается требованием стационарности процессов и отсутствием необходимости оценки изменения вероятностных характеристик во времени.

Если же перед исследователем ставится более сложная задача оценки таких критериев, как функции распределения вероятностей времени задержки, периода занятости, числа заявок в очереди.

Наиболее широко применяется описание математических моделей в виде характеристических функций, в частности, в виде преобразований Лапласа-Стильтьеса [18].

Модель времени задержки представима в виде интегро-дифференциального уравнения Линди-Такача-Севастьянова [18], причем в данной модели предполагается произвольный вид распределения времени обслуживания.

Однако при всей универсальности аппарата характеристических функций для применения его при описании моделей СМО, у него имеется один существенный недостаток, заключающийся в том, что получить реальные распределения действительного параметра времени далеко не всегда возможно. Это связано с тем, что не всегда существуют обратные преобразования Лапласа. При моделировании приоритетных СМО применяют математические модели, изложенные в работе [19]. Если же рассматривать сложные структуры СМО (многофазные, многоканальные, приоритетные), то получить математическую модель в виде аналитических зависимостей невозможно. Поэтому для исследования сложных структур СМО разрабатывают имитационные модели [20].

Для СМО приняты обозначения А/В/m/L, в которых:

- первая позиция А определяет функцию распределения входного потока заявок (интервала времени между поступающими заявками);

- вторая позиция В определяет функцию распределения закона обслуживания;

- третья позиция определяет m число каналов (приборов) обслуживания;

- четвертая позиция L определяет максимально допустимое число заявок в очереди на обслуживание.

Аналитические законы функций распределений имеют следующее общепризнанное кодированное обозначение:

- М – показательное распределение;

- E_r - распределение Эрланга r–го порядка;

- H_k - гиперпоказательное распределение порядка k;

- D - вырожденное распределение;

- G - произвольное распределение.

Модель входного потока заявок и времени обслуживания

F(х1,х2,...,хn)=Р{e1<х1, e2<х2,..., en<хn}. Если ei - величины детерминированные, то имеем дело с равномерным потоком… Известны три характеристики для классификации входных потоков:

Модель Эрланга

  Рис. 7.1

Исследование модели пуассоновского процесса с помощью производящих функций

Можно записать уравнение в частных приращениях. Вероятность того, что к моменту времени t+Dt в системе не будет заявок, определится через… Р0(t+Dt)=Р0(t)(1-lDt). (7.5) Вероятность того, что к моменту времени 1+Dt в СМО будет n заявок, определится как вероятность того, что в момент t в…

Имитационное моделирование одноканальной СМО

7.6.1. Алгоритм имитационной модели одноканальной СМО.Одноканальная СМО самая простая модель (см. рис. 7.1,а) при условии пуассоновского входного… Одноканальную СМО следует рассматривать как элемент, т.е. предел членения СМО… Для понимания процесса функционирования одноканальной СМО следует построить временные диаграммы, на которых отображают…

Имитационные модели многофазных СМО

  Рис. 7.18

Имитационные модели многоканальных СМО

7.8.1. Модели систем с общей очередью.Рассмотрим задачу построения имитационной модели трехканальной СМО с общей очередью. Понятие общей очереди… Структура трехканальной СМО представлена на рис. 7.24.  

Алгоритмизация имитационной модели СМО произвольной структуры

Методика построения имитационной модели СМО сложной структуры сводится к разработке модульной структуры алгоритмической модели. Структуру СМО…   Рис. 7.36

Моделиpующие алгоpитмы

Для моделиpования любого объекта, заданного пpи помощи математичеcкой модели, а также в виде последовательности процедур, имитирующих отдельные… Cоздание моделиpующего алгоpитма ‑ этап иccледо-вания, когда уже pешены… Необxодимо cделать запиcь алгоpитма незавиcимо от xаpактеpиcтик ЭВМ. Cпоcобы пpедcтавления моделиpующего алгоpитма…

УНИФИЦИРОВАННЫЙ ЯЗЫК МОДЕЛИРОВАНИЯ UML

 

Основные компоненты

После многх попыток создания унифицированных языков для решения задач моделирования был разработан и опробован объектно-ориентированный подход.… Объектно-ориентированный подход позволяет: - описывать структуру объекта;

Понятия и компоненты

Сущности представляются парами «тип, экземпляр». Таких пар несколько: «класс, объект», «ассоциация, связь», «параметр, значение», «операция, вызов… Для всех типов диаграмм существует ряд общих элементов: - строки - последовательности литералов, которые могут включать в себя практически любые символы, могут объединяться в…

Диаграммы вариантов использования

 

Диаграммы вариантов использования являются графическим представлением взаимодействия пользователя и компьютерной модели. Каждый вариант использования охватывает некоторую очевидную для пользователей функцию системы и решает некоторую дискретную задачу пользователя. Список всех вариантов использования определяет функциональные требования к системе, с помощью которых может быть сформулировано техническое задание.

Рассмотрим основные элементы диаграммы.Диаграмма вариантов использования представляет собой граф, описывающий взаимодействие действующих лиц с системой, представленное вариантами использования. Действующее лицо - это пользователь с некоторыми фиксированными требованиями к модели.

Вариант использования представляет собой типичное взаимодействие пользователя и компьютерной системы и решает дискретную задачу пользователя. Каждый вариант использования - это потенциальное требование к системе. Нотация варианта использования не должна содержать в себе подробные описания, достаточно несколькими предложениями описать выдвигаемое требование. На рис. 3.3 представлена диаграмма вариантов использования для рассматриваемого примера.

 

Рис. 9.3

 

Действующее лицо представлено фигуркой человечка, а имя действующего лица располагается под фигуркой. Вариант использования представляется эллипсом, внутри которого располагается его имя. Предполагаем, что в модели будут применять три типа пользователей:

- зрители, которые могут только наблюдать за движением конкретного автомобиля по конкретной трассе;

- ученики, которые могут выбирать автомобиль и трассу;

- испытатели, имеющие право выбирать значения параметров трассы.

Рассмотрим связи в диаграмме вариантов использования. Значимыми являются следующие связи (см. рис. 9.3, рис. 9.4):

- коммуникация (communicatas) показывает участие действующего лица в варианте использования, соединяя символ действующего лица с символом варианта использования сплошной линией;

- расширение (extends) - линия со стереотипом «extends», с незаполненной стрелкой на конце, соединяет базовый вариант использования с расширяющим его вариантом использования. Конец с незаполненной стрелкой указывает на вариант использования, являющийся расширением базового варианта. Такой тип связи используется, если один вариант использования подобен другому, но несет дополнительную нагрузку. Удобно использовать такой тип связи при описании обработки аварийных ситуаций, возникающих в системе, чтобы не перегружать основной вариант использования, описывающий нормальное поведение системы, излишней логикой (см. рис. 9.4);

- использование (uses) - линия с надписью «uses», с незаполненной стрелкой на конце, соединяет один вариант использования с другим вариантом, который он использует. Такой тип связи применяется в тех случаях, когда имеется какой-либо фрагмент поведения системы, который повторяется более чем в одном варианте использования, и не хочется копировать его в каждом из этих вариантов. В этом случае данный фрагмент оформляется как отдельный вариант использования, и к нему проводятся соответствующие связи от других вариантов (см. рис. 9.4).

На рис. 9.4 поясняется, чем отличается вариант использования испытателя от варианта использования ученика.

Предполагается, что первоначально по новой трассе проезжает испытатель и подбирает параметры так, чтобы при определенном навыке управления по ней можно было проехать, не ударясь «головой» о потолок, и не испытывая чрезмерной тряски, а затем фиксирует их. Так появляется новая трасса для ученика.

 

Рис. 9.4

 

 

Диаграммы классов

 

Диаграммы классов (class diagrams) показывают статическую структуру системы. Диаграммы классов содержат набор статических элементов, как, например, классы, типы и их связи, объединенные в граф. Среди связей особо выделяют ассоциации и подтипы. На диаграммах классов также изображаются атрибуты классов, операции классов и ограничения, которые накладываются на связи между объектами. Диаграммы классов могут быть логически объединены в пакеты.

Класс (class) - это сущность, описывающая множество объектов со сходной структурой, поведением и связями с другими объектами. На диаграммах класс изображается в виде прямоугольника со сплошной границей, разделенного горизонтальными линиями на З секции, как показано на рис. .9.5.

 

Рис. 9.5

 

Верхняя секция (секция имени) содержит имя класса и другие общие свойства (в частности, тип класса). В средней секции содержится список атрибутов, а в нижней - список операций. Атрибуты хранят инкапсулированные данные класса, а операции описывают поведение объектов класса.

Любая из последних двух секций - атрибутов и операций - может не изображаться. Для отсутствующей секции не нужно рисовать разделительную линию и как-либо указывать на наличие или отсутствие элементов в ней.

Классы могут объединяться в более крупные компоненты, называемые пакетами. Область видимости класса ‑ это пакет, в котором он описан. По умолчанию считается, что указываемый класс определен в текущем пакете. Если необходимо сослаться на класс из другого пакета, это указывается явно:

<имя пакета>: :<имя класса>.

Так как иерархия пакетов может иметь глубину вложенности большую, чем единица, то путь к классу может содержать более чем одну ссылку, при этом путь начинается от корня иерархии пакетов:

<имя пакета1>::<имя пакета2>::...::<имя пакетаN>::<имя класса>.

В секции имени класса могут находиться (по порядку сверху вниз):

- тип класса (и/или значок типа в правом верхнем углу) - необязательное поле, опускается, если речь идет о неспецифицированном классе;

- имя класса (если класс абстрактный, то курсивом);

- дополнительные свойства ‑ имя автора и т.п. (необязательное поле).

Средняя и нижняя секции прямоугольника класса содержат списки его атрибутов и операций.

Атрибут (attribute) UML ‑ это элемент данных класса, т.е. элемент данных, который содержится в объекте, принадлежащем описываемому классу.

У атрибута должен быть тип (type exptession), который может представлять собой простой тип или быть сложным:

Array, Real, Vektor, Matrix.

<признак видимости><имя>::<тип>=<значение по умолчанию>{свойства}. Могут быть следующие свойства: а) признак видимости имеет С++-семантику видимости членов класса:

Жесткость подвески

Масса машины

У каждой секции прямоугольника класса может быть имя. Так как секция «имя класса» обязательна, то ее имя не указывается, как показано на рис. 9.6. …  

Типы связей между классами

Чтобы на диаграмме показать взаимодействие классов, между ними необходимо обозначить связь. Возможны связи следующих типов: ассоциации, зависимости, агрегации и сообщения.

Ассоциация (association) определяет логическую связь между классами. В UML одна ассоциация может специфицировать связь между двумя и несколькими классами. Ассоциации первого типа называются бинарными, а второго типа ‑ N-арными.

Бинарная ассоциация (binary association) характеризует логическую связь между двумя классами. Возможна также связь класса с самим собой, которая называется рефлексивной ассоциацией. Изображается ассоциация в виде сплошной линии, соединяющей символы классов. Каждая ассоциация, как и любая связь, обладает направлением или в терминах UML - ролью (association role). Ролей может быть две, чтобы иметь возможность подчеркнуть возможные различия во «взаимоотношениях» между классами, например у «Начальника» могут быть сосредоточены все права, а у «Подчиненного» - только обязанности.

Рядом с линией, изображающей ассоциацию, мотут быть следующие пометки:

- имя ассоциации определяет необязательное имя ассоциации;

- класс ассоциации определяет для ассоциаций атрибуты, операции и другие свойства (соединяется с линией ассоциации пунктиром). Эта метка используется в случае, если необходимо присоединить к ассоциации некую дополнительную информацию.

Роль(association role) - неотделимая часть ассоциации, описывающая роль класса в данной ассоциации. У роли могуг быть следующие свойства:

- имя роли - строка, стоящая рядом с концом линии ассоциации, причем, поле не обязательное, но если имя задано, то оно должно отображаться на диаграмме;

- навигация в направлении роли означает, что партнеры ассоциации могут просматривать объекты, соответствующие этой роли. Если в направлении, соответствующем роли есть навигация, то на конце линии может быть изображена стрелка;

- множественность показывает количество конкретных объектов, которые могут быть связаны с данным партнером ассоциации, показывает нижнюю и верхнюю границы количества объектов, которые участвуют в ассоциации;

- квалификатор представляет собой список атрибутов класса с противоположного конца линии ассоциации, по значениям которых можно однозначно разбить множество объектов этого класса на подмножества. Используется для связи объекта класса-партнера ассоциации с группой объектов другого класса-партнера ассоциации;

- агрегация показывает, что ассоциация является отношением типа целое/часть.

Множественность (multiplicity) показывает возможное количество объектов, которые могут быть связаны в соответствии с этой ассоциацией. Множественность указывается для ролей ассоциации и имеет следующий формат (см. рис. 9.9):

<нижняя граница>. . <верхняя граница>

 

Рис. 9.9

 

Верхняя граница и нижняя граница указывают минимальное и максимальное количество объектов, участвующих в ассоциации. Если для верхней границы стоит символ «*», то это значит, что она бесконечна.

Пример

0. .1

0. . *

3. .5,10. .20,100,200. . *

В работающей системе между объектами ассоциированных классов устанавливаются связи (экземпляры ассоциации). Но в некоторых случаях требуется, чтобы можно было разбить множество объектов одного класса, которые будут связаны с объектом другого класса в соответствии с данной ассоциацией, на подмножества по значениям некоторых атрибутов этих объектов, и наложить ограничения на число объектов в том или ином подмножестве.

В UML предоставляется такая возможность: у ассоциации может быть атрибут под названием квалификатор (qualifier), который содержит один или несколько атрибутов класса, прикрепленного к другому концу ассоциации. По значению этих атрибутов происходит групповая выборка объектов этого класса со стороны объекта противоположного по данной ассоциации класса. Квалификатор изображается в виде маленького прямоугольника, присоединенного к началу линии ассоциации (см. рис. 9.10). В нем указываются атрибуты другого класса-партнера ассоциации.

 

 

Рис. 9.10

 

Квалификатор, приведенный на рис. 9.10, можно трактовать, как ограничение на использование трассы машинами с определенным весом, и на количество одновременно проезжающих по этой трассе машин.

Если у роли ассоциации установлен атрибут «aggregation», то вся ассоциация является отношением агрегации. Такой атрибут может быть установлен только у одной из ролей. Агрегация (aggregation) ‑ это отношение между классами типа целое/часть. Агрегируемый класс в той или иной форме является частью агрегата. На практике это может быть реализовано по-разному. Например, объект класса-агрегата может хранить объект агрегируемого класса, или хранить ссылку на него.

В UML допускается возможность агрегации одного класса многими, т.е. один класс может являться частью нескольких целых. Но имеется специальный вид агрегации, называемый композицией (composition), который этого не допускает. Композиция является специальным видом агрегации (так называемая сильная агрегация). Она указывает на то, что данный класс может являться частью только одного класса. В частности, агрегируемый объект может быть создан только тогда, когда создан агрегат, а с уничтожением агрегата уничтожаются и все агрегируемые объекты. Агрегация изображается на диаграмме полым ромбом на конце линии ассоциации со стороны агрегирующего класса (агрегата). Композиция показывается так же, как и агрегация, но ромбик рисуется не пустым, а заполненным (см. рис. 9.11).

 

Рис. 9.11

 

В некоторых случаях два и более элемента модели могут быть семантически связаны. Например, класс А использует методы класса В. При изменении класса В необходимо произвести соответствующие изменения в классе А. Поэтому в нотации UML предусмотрено такое отношение, как зависимость (dependency).

Для рассмотренного примера на диаграмме классов необходимо указать, что класс А зависит от класса В. Отношение зависимости является универсальным, если с помощью него можно связывать различные типы сущностей UML. Зависимость изображается пунктирной линией, проведенной между двумя элементами диаграммы, и считается, что элемент, «привязанный» к концу стрелки, зависит от элемента, «привязанного» к началу этой стрелки. Зависимость может быть снабжена именем и спецификатором. Существуют следующие виды зависимостей:

- trace показывает историческую связь между двумя элементами, которые представляли одно и то же понятие на разных этапах;

- refine - историческая связь между элементами, как правило, показывает, что один элемент как бы произошел от другого;

- uses - ситуация, когда один элемент модели использует другой;

- bind - устанавливается между шаблоном и экземпляром шаблона;

- friend - аналог ключевого слова С++friend.

Наследование (inheritance) - это отношение типа «общее-частное» между элементами модели. Наследование обозначается сплошной линией, идущей от частного элемента к более общему (в терминологии ООП - от потомка к предку или от подкласса к суперклассу). Со стороны более общего элемента рисуется большой полый треугольник.

Один из атрибутов отношения наследования ‑ дискриминатор (discriminator) ‑ строка, задающая имя группы потомков. Его использование полезно, если у данного класса много потомков, и необходимо разбить их на несколько групп. Отсутствие дискриминатора означает, что дискриминатор - пустая строка (дискриминатор по умолчанию). Изображается дискриминатор текстовой строкой, стоящей возле линии наследования, как это показано на рис. 9.12.

 

 

Рис. 9.12

 

 

Расширения понятия класса в UML

 

В UML существует несколько разновидностей класса: интерфейс, шаблон, утилита и др.

Интерфейс (interface) ‑ класс, задающий набор операций, но не содержащий в себе поля и реализации этих операций. Класс, реализующий интерфейс, сам определяет содержимое этих операций.

Шаблон (template) или параметризованный класс (parameterixed class). Шаблоны UML очень похожи на шаблоны С++. Они определяют семейство классов, отличающихся значением некоторых формальных параметров.

Утилита (utility) ‑ класс, объединяющий группу общедоступных (глобальных) переменных и процедур.

Для указания вида класса в UML введено понятие стереотипа (stereotype). Стереотип как бы определяет подтип некоего глобального типа класс. Соответственно, классы-интерфейсы имеют стереотип «interface», а классы - утилиты – «utility».

Интерфейс (interface) в UML является описанием группы функций, которые он предоставляет другому классу. Логика работы этих функций не определяется. Имеется возможность задать неформальное описание того, что от них требуется.

Класс поддерживает интерфейс, если он содержит методы, реализующие все операции интерфейса. На диаграмме классов UML интерфейс можно изобразить двумя способами: развернутым и сокращенным. В случае развернутого способа интерфейс изображается на диаграмме как класс со стереотипом «interface» и без секции атрибутов (см. рис. 9.13). Допустимо также сокращенное изображение интерфейса - небольшой кружок с именем интерфейса возле него.

На рис. 9.13 изображен класс «Грузовая машина», который реализует интерфейс «Машина». Связь между ними называется детализацией и представляется на диаграмме в виде пунктирной линии с треугольником на конце. Класс «Грузовая машина» должен предоставить метод, реализующий операцию движение, унаследованную от интерфейса «Машина». На рис. 9.14 изображен класс «Грузовая машина», использующий интерфейс «Машина». Связь между ними называется зависимостью и представляется на диаграмме в виде пунктирной линии со стрелкой на конце. Такая связь говорит о том, что если интерфейс «Машина» изменить, то класс «Грузовая машина» тоже может претерпеть некоторые изменения.

 

Рис. 9.13

 

 

Рис. 9.14

 

В некоторых случаях в модели необходимы классы со схожей структурой, которые отличаются некоторыми параметрами. Например, имеется описание нескольких динамических массивов для элементов разных типов, а многие операции над их элементами совпадают. Целесообразно определить такую структуру данных, чтобы с ее помощью было бы легко получить динамические массивы, и делать это можно было бы уточнением параметров. Для этого в UML вводится понятие параметризованных классов (parameterixed class), которые еще называют шаблонами (template).

Параметризованный класс или шаблон ‑ это описание множества классов с одним или более неопределенным формальным параметром. Шаблон нельзя использовать как обычный класс, т.к. его параметры должны быть привязаны к определенным значениям. Шаблон не может участвовать в большинстве отношений между классами. Существует два вида отношений, в которых он может участвовать - связи между шаблоном и классом, порожденным от него подстановкой параметров (помечается ключевым словом «bind»), и направленные ассоциации. Направленная ассоциация должна идти от шаблона.

Операции и атрибуты экземпляров шаблонов не отображаются на диаграмме. Иногда требуется добавить новые свойства в класс. В таких случаях следует создать новый класс, чьим предком будет экземпляр шаблона, и далее добавить нужные операции и атрибуты. Иногда при описании классов используют глобальные функции и переменные. Для удобства программирования введено понятие утилита (utility) - класс специального вида, в котором собираются подобные функции и переменные. На диаграмме утилита изображается как класс со стереотипом «utility», и может иметь как атрибуты, так и операции.

Связи между объектами

Аналогично ключевому понятию модели классов - понятию ассоциации, - для объектов существует понятие связи (link). Связь есть экземпляр ассоциации,… Объекты-партнеры связи исполняют определенные роли, имена которых изображаются…  

Диаграммы взаимодействия

Диаграммы последовательности имеют две размерности: обычно по вертикали представлено время, по горизонтали - различные объекты. Оси координат могут… Объект на диаграмме изображается в виде прямоугольника на вершине вертикальной… Символ объекта рисуется в начале его линии жизни; если объект создается не в начале диаграммы, то сообщение о создании…

Диаграммы состояний

Диаграммы состояний (state diagram) определяют состояния, в которых может находиться конкретный объект, а также процесс смены состояний объекта в… Состояния (state) представляют собой отрезок времени в жизни объекта, в… - имя состояния. Указание имени состояния необязательно. Два символа состояния с одним и тем же именем представляют на…

Диаграммы деятельностей

Рассмотрим основные элементы диаграммы. Основным элементом диаграммы деятельностей является состояние действия (action state). Оно представляет… В диаграмме деятельностей может использоваться состояние, связанное с…  

ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

Определение объекта

Объектно-ориентированный подход в последнее время стал прочно ассоциироваться с программированием. Объектно-ориентированный подход развивался почти… Язык Modelica его авторы называют языком «физического» моделирования. На… В сложной технической системе на верхних и средних уровнях иерархии предположение о направленности связей обычно…

Behavior

}/*GGenerator*/  

Наследование

Наследование в ООМ понимается примерно так же, как и в ООП. Если объявляете класс с2 прямым потомком класса с1, то класс с2 наследует все элементы… Часто используется понятие косвенного наследования, когда экземпляры одних… Целью наследования является модификация базового класса. Пусть, например, мы хотим создать усилитель с насыщением,…

Полиморфизм

Полиморфизмом в ООП называется возможность использования вместо объектов одного декларированного класса объекты другого класса, называемого… В ООМ объекты также могут быть формальными параметрами процедур и функций, а в… Интерфейсом в ООП называется совокупность спецификаций процедур и функций (методов) без указания их реализации, т.е.…

Equation

Y = K*X;

endCGain;

modelCMulGiv

extends CGain;

output Real Z;

Equation

endCMulGiv; Новый класс CMulGiv наследует от своего суперкласса CGain вход, выход,… model CSaturation

Protected

Real Xmin (start=LowerLimit/K);

Real Xmax (start=UpperLimit/K);

Equation

else if X<Xmin then LowerLimit else K*X; endCsaturation;

Protected

CsainGenerator Gen (Amplitude=2);

Camp Amp (K=0.6);

Equation

connect(Gem.Y,Y); endCSineSource; Далее нужно создать специальный класс CLimitedSineSource на основе СSineSource, переопределив параметризованный класс…

Типы данных и пакеты

Для моделирования непрерывных систем необходим минимальный набор типов данных: скалярный вещественный тип, типы «вектор» и «матрица», а также целые… Для моделирования дискретных и гибридных систем необходимо также иметь более… Для систем со сложной структурой желательно наличие типа «запись» для передачи в компактной форме наборов…

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

2. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М.: Наука,1978. – 400 с. 3. Финаев В.И. Моделирование при проектировании информационно-управляющих… 4. Бенькович Е.С., Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Практическое моделирование динамических систем. – СПб.:…

АНАЛИТИЧЕСКИЕ

И ИМИТАЦИОННЫЕ

МОДЕЛИ

 

 

Ответственный за выпуск Финаев В.И.

Редактор Кочергина Т.Ф.

Корректор Лунева Н.И.

 

ЛП №020565 Подписано к печати

Офсетная печать Усл. п.л. – 19,3 Уч.-изд.л. – 19,1

Заказ №_______ Тирах 500 “С”

 

 

«С»

__________________________________________________

Издательство Технологического института

Южного федерального университета

ГСП 17 А, Таганрог, 28, Некрасовский, 44

Типография Технологического института

Южного федерального университета.

ГСП 17А, Таганрог, 28, Энгельса, 1