Роблять 2 припущення: 1) Коефіцієнти мають одинаковий знак; 2) Коефіцієнти змінюються в геометричній прогресії.
Параметр наз. темп зростання ДЛ, а швидкість прискорювання
Враховуючи припущення (1) нескінченно ДЛМ можна записати у вигляді:
Модель (2) з запізненням в 1 період
Модель (3) домножимо на
Від моделі (2) віднімемо модель (4)
для оцінювання параметрів моделі (5) можна застосувати МНК
Має такі особливості: 1) у ДЛМ ми отримуємо авто-регресійну модель; 2) під час оцінювання моделі (5) необхідно перевірити чи змінна є не стохастична, тобто чи не зал. від випадкової величини
Переваги: 1) чітке припущення що всі і змін в геометричній прогресії; 2) мат. модель.
27. Модель адаптивних очікувань (перша модель модифікації Койка)
Підхід Койка до дистрибутивно-лагових моделей Койк запропонував досить цікавий метод оцінки дистрибутивно-лагових моделей. Припустимо, ми починаємо з дистрибутивно-лагової моделі з невизначеним лaгом ( = ). Припускаючи, що βі мають той самий знак, Койк припустив також, що вони змінюються в геометричній прогресії: k = 0, 1, …, (1.4) де λ такі, що 0 < λ < 1 – темп зменшення дистрибутивного лагу, а (1- λ) – швидкість пристосування. Співвідношення (1.4) показує, що кожний наступний коефіцієнт β менший, ніж попередній (оскільки λ< 1), тобто з кожним наступним кроком у минуле вплив лaгу на уt поступово зменшується, що є досить імовірним припущенням. Значення лaгового коефіцієнта βк -залежить, крім загального β0 також і від λ. Чим ближче значення λ до 1, тим повільніший темп зменшення βк, а чим ближче він до 0, тим швидше спадає βк . У попередньому випадку віддалені в минулому значення х досить сильно впливали на уt, тоді як у нашому випадку їхній вплив на уt швидко зменшується. Слід зазначити, що метод Койка має такі переваги:
- припускаючи, що λ можуть бути від'ємними, Койк абстрагувався від зміни знака коефіцієнта при βі;
- завдяки тому, що λ<1 віддалені за часом, значення βі стали менш впливовими, ніж поточні;
- сума βі, яка складає довгостроковий мультиплікатор, є скінченною, тобто
. (1.5)
як результат (1.4), модель з кінцевим лагом (1.5) можна записати таким чином:
. (1.6)
28. Модель часткових пристусувань(друга МОДИФІКАЦІЇ моделі Койка)
Як бачимо, модель (1.6) також незручна для оцінки, оскільки залишається дуже велика (фактично нескінченна) кількість оцінюваних параметрів, крім того, параметр λ входить до моделі в нелінійній формі: тобто метод лінійної (за параметрами) регресії не можна застосувати до цієї моделі. Але Койк пропонує модифікований метод, який полягає в тому, що в модель (1.6) вводиться затримка на один період. Виходячи з цього, модель записується таким чином:
(1.7)
Далі помножуємо (1.7) на λ і отримаємо:
(1.8)
Віднявши (1.8) від (1.6), маємо:
(1.10)
де . Ця процедура відома як перетворення Койка. Порівнюючи (1.10) з (1.3), бачимо надзвичайне спрощення моделі. Якщо раніше нам треба було оцінювати параметр αλ та нескінченну кількість параметрів βі, тепер достатньо оцінити лише три змінних: α,βо і λ, тобто немає причин очікувати мультиколінеарність. Фактично ми позбулись мультиколінеарності заміною хt-1, хt-2 … на одну змінну, тобто уt-1.
Зазначимо деякі особливості трансформації Койка.
1. Трансформація Койка переводить дистрибутивно-лагову модель в авторегресивну, оскільки серед незалежних змінних залишається уt-1.
2. Поява уt-1 може спричинити ряд статистичних проблем: уt-1, як і уt, - стохастична; це означає, що в модель ми вводимо стохастичну змінну.
3. У початковій моделі (1.3) помилка дорівнювала εt, а в перетвореній . . Тепер статистичні властивості υt залежать від статистичних властивостей εt.
4. Наявність лагового значення у порушує одне з припущень d-тесту Дарбіна-Уотсона. Отже, нам потрібно розробити альтернативу для тестування серійної кореляції при лаговому у. Цією альтернативою є h-тест Дарбіна.