Аналітичні методи тестування гетероскедастичності. Тест Годфрея

Тест Годфрея передбачає побудову допоміжних кореляційно-регресійних моделей використовуючи квадрати відхилень , тобто кореляційно-регресійних залежностей виду При цьому в загальному прикладі таку залежність моделюють: + . Змінюючи значення L будуємо наступні кореляційно-регресійні моделі:

;

;

;

;

;

+;

+;

Про наявність гетероскедастичності свідчить статистична значущість параметрів , а також високий коефіцієнт кореляції між змінними моделі. Статистичну значущість параметрів моделі визначають шляхом перевіряння нульових гіпотез:

- Вільний член моделі

- Коефіцієнт регресії

Перевіряння нульових гіпотез здійснюють за допомогою -статистики Стьюдента. Якщо для декількох кореляційно-регресійних моделей коефіцієнт регресії є статистично значущим, то ”найкращу” з цих моделей вибирають на підставі порівняння їхніх коефіцієнтів кореляції та середньоквадратичних відхилень параметрів .

У разі, коли та , явище називають чистою гетероскедастичністю, а коли та , то наявна змішана гетероскедастичність.

 

41. Метод зважених найменших квадратів (дисперсії випадкових величин відомі)

Цей метод застосовують, якщо значення відомі для кожного спостереження. Гетероскедастичність у цьому разі можна усунути, розділивши кожне спостережуване значення результуючої змінної та факторних ознак на від­повідне йому значення дисперсії. Саме у цьому полягає суть методу зважених найменших квадратів.

Щоби спростити виклад, опишемо метод зважених найменших квадратів на прикладі парної лінійної кореляційно-регресійної моделі: (1)

Для кожного спостережуваного значення результуючої змінної y_i та фак­торної ознаки x_iузагальнена модель (1) набуває значення:

(2)

Розділимо обидві частини рівності (2) на відоме : (3)

Зробивши заміни

модель (3) можна записати таким чином:

(4)

У результаті ми отримали кореляційно-регресійну модель без вільного члена, проте з додатковою факторною змінною zіз випадковою величиною v: (5)

У цій моделі для випадкових величин v_iвиконується умова гомоскеда- стичності. Справді, згідно з припущенням 1 класичного кореляційно-регресій-

ного аналізу, , томуE(v_i) = . Дисперсія випадкових величин v_iстановить

 

Таким чином, для перетвореної кореляційно-регресійної моделі (5) виконуються всі припущення класичного кореляційно-регресійного аналізу. Тобто оцінки, отримані за допомогою методу найменших квадратів, будуть найкращими лінійними оцінками.

Отже, метод зважених найменших квадратів містить такі етапи:

1. Кожне спостереженняx_i ,у_i ділять на відому величину дисперсії. За допомогою такого перетворення спостереженням з малими дисперсіями при­своюють великі "вагові коефіцієнти", а з великими дисперсіями — малі "ва­гові коефіцієнти". При цьому спостереження з меншими дисперсіями відхи­лень будуть вагомішими (значимішими) під час оцінювання коефіцієнтів регресії, ніж спостереження з великими дисперсіями. Врахування цього чин­ника збільшує ймовірність отримання точніших оцінок.

2. За допомогою методу найменших квадратів на підставі перетворених

будують кореляційно-регресійну модель (5) без вільного члена.

Недоліком методу зважених найменших квадратів є неможливість знайти значення дисперсії для кожного г-го значення факторної ознаки х, оскіль­ки у вибірковій сукупності для кожного значення факторної ознаки часто маємо лише одне значенняy_i.

 

 

42.Метод зважених найменших квадратів (дисперсії відхилень невідомі)

Щоби використати метод зважених найменших квадратів, потрібно знати фактичні значення дисперсій випадкових величин a_t. На практиці такі зна­чення відомі дуже рідко. Саме тому, щоби застосувати метод зважених най­менших квадратів, потрібно зробити деякі припущення про значення .Розгляньмо парну лінійну кореляційно-регресійну модель (1)

 

де — випадкова величина, яка є гетероскедастичною, але відповідає всім іншим припущенням кореляційно-регресійного аналізу.

Якщо встановлено наявність гетероскедастичності, потрібно трансформу­вати початкову модель таким чином, щоби випадкові помилки мали постійну дисперсію. Спосіб проведення трансформації початкової моделі залежить від форми залежності між дисперсією випадкових величин та значеннями фак­торних ознак:

 

На практиці розглядають кілька можливих перетворень:

Випадок 1. Дисперсія пропорційна x_i.

У цьому разі припускаємо таку форму гетероскедастичності: (2)

деk²—.коефіцієнт пропорційності, константа.

Тоді трансформація моделі (2) полягає у діленні лівої і правої частин рівняння для кожного значення факторної ознаки x_i на :

 

Отже, для випадкових відхилень виконується умова гомоскедастичності.

Справді, врахувавши умову (2), отримаємо:

 

Таким чином, під час оцінювання параметрів кореляційно-регресійної мо­делі (3) можна застосувати класичний метод найменших квадратів.

Випадок 2. Дисперсія пропорційна x_i².

Розглянемо парну лінійну кореляційно-регресійну модель (4). Припусті­мо, що форма гетероскедастичності має вигляд

Виражаючи коефіцієнт пропорційності, отримаєм . Це означає,що трансформація початкової моделі полягає у діленні моделі на х_i-. Транс­формована кореляційно-регресійна модель має вигляд:

(4)

При цьому параметри регресії у кореляційно-регресійної моделі (5) помінялися місцями, тобто параметр регресії моделі (4) став вільним чле­ном у моделі (5) і навпаки, вільний член моделі (4) став коефіцієнтомрегресії при змінній 1/x.

Випадкові величини v_iмають властивість гомоскедастичності, оскільки

 

Таким чином, щоби знайти невідомі параметри кореляційно-регресійної моделі, можна використати метод найменших квадратів.

Під час побудови множинної лінійної кореляційно-регресійної моделі можна діяти так само, як і під час першого припущення тобто досліджувати залежність дисперсії від значень деякоїj-i факторної змінної Х_ji або залежність дисперсії від значень вибіркової множинної лінійної кореляційно-регресійної моделі.

Зауваження. Трансформовані змінні і трансформована кореляційно-регресійна модель можуть мати зовсім інший економічний зміст, ніж початкові змінні та модель.