На прикладі кейнсіанської моделі покажемо, коли факторні і результуючі змінні взаємозалежні, що призводить до порушення припущення ро незалежність факторної змінної і вип. Величини та до появи зміщених оцінок невідомих параметрів, якщо застосувати МНК
Кейнсіанська модель доходу має вигляд:
C-витрати на споживання; y-дохід; I-інвестиції;
Ця модель математично завершена оскільки містить два рівняння з двома ендогенними змінними С та У, інвестиції визначають екзогенною змінною.
Підставимо вираз для С з першого рівняння у друге:
Отже у функції споживання дохід та випадкова величина залежні між собою, тобто дохід не є екзогенною величиною. Доведемо:
за означенням, .
Тоді тому .
Враховуючи вираз для і те, що інвестиції визначені екзогенно, маємо:
Отже
Тепер доведемо, що застоування методу найменших квадратів під час оцінюванн невідомих параметрів першого рівня кейнсіанської моделі спричинить одержання зміщених оцінок. Нехай для моментів часу t=1,...,T відомі обсяги доходу та витрати на споживання .
Оцінку невідомого параметра функції споживання метод.найменш.квадр.обчисл.за формул.
У кейнсіанській моделі доходу - гранична схильність до споживання, яка завжди лежить у проміжку тому величина . Отже математичне сподівання E( оцінка буде завжди більшим за тобто є завжди зміщеною оцінкою параметра .Крім того відхилення оцінки ід ітинного значення параметра залишається навіть тоді коли обсяг вибірки прямує до безмежності., тому оцінка є не лише зміщеною, але і не консистентною.
Ми довели, що застосування методу найменших квадратів під час оцінювання невідомих параметрів СМ призводить до зміщених і не консистентних оцінок цих параметрів.У зв’язку з цим виникає потреба у застосуванні інших методів оцінювання параметрів.До цих методів належать:
1. Метод непрямих найменших квадратів;
2. Двокроковий метод найменших квадратів;
3. Метод інструментальних змінних;
4. Метод змішаного оцінювання;
5. Метод найбільшої вірогідності обмеженої інформації;
6. Трикроковий метод найменших квадратів;
7. Метод найбільшої вірогідності повної інформації.
Перші 5 методів називають методами одного рівняння, оскільки їх застосовують до одного з рівнянь системи. Останні два методи називають системними методами , позаяк їх застосовують одночасно до всіх рівнянь моделі.