Властивості функцій, неперервних в точці

Теорема 1 (про арифметичні властивості неперервних функцій). Якщо кожна з функцій і визначені на множині і неперервні в точці , то в цій точці неперервними є функції ; ; (остання при умові ).

Доведення. Розглянемо частку двох функцій .

Припущення про неперервність функції і в точці рівносильне наявності рівностей:

Звідки за теоремою про границю частки двох функцій маємо:

,

а це означає, що функція неперервна в точці . Неперервність функції , доводиться аналогічно; теорема справедлива для алгебраїчної суми та добутку будь-якої скінченної кількості функцій.

Приклад. Функція неперервна в кожній точці, тому що вона є додатком неперервних функцій.

Приклад. Функція – неперервна для як різниця двох неперервних функцій.

Теорема 2. (Неперервність складеної функції). Нехай функція визначена на множині , а функція , всі значення якої належать визначена на множині . Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в відповідній точці , то і функція буде неперервною в точці .

Доведення. Дамо в точці приріст , тоді приріст функції буде мати приріст . Якщо , тоді і , тому що функція – неперервна, а це означає, що (– неперервна функція). Отже, якщо , то і . Тобто функція – неперервна. Маємо:

Остання рівність означає, що під знаком неперервної складної функції можна переходити до границі.

Теорема 3. (неперервність оберненої функції). Якщо функція зростає (спадає) і неперервна на множині , а область її змінення є , тоді на множині існує однозначна обернена функція , також зростаюча (спадаюча) і неперервна на множині .

Теорема 4. Основні елементарні функції є функції неперервні на множині їх визначення (без доведення).

Фактично цією теоремою користуємся при обчислюванні границі функцій в точках, які належать області їх визначення.