Розв’язання типових задач.
ЗАДАЧА I. Є наступні дані по 10 підприємствам концерну про прибуток (
- млн руб.), по виробленню продукції на 1 працівника (
- одиниць) та частки продукції, що виробляється на експорт (
-%), наведені в таблиці.
Потрібно:
1) Скласти рівняння регресії в натуральному масштабі ( «чистої» регресії) за допомогою МНК.
2) Скласти рівняння регресії в стандартизованому масштабі.
3) Оцінити отриману модель:
а) через показник множинної кореляції;
б) через показник детермінації.
| № п/п |
|
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
| Разом |
| - вихідні дані. |
| - допоміжні розрахунки. |
1) Скласти рівняння регресії в натуральному масштабі ( «чистої» регресії) за допомогою МНК.
Система рівнянь для оцінки параметрів 
, 
і 
:
Рівняння регресії:
2) Скласти рівняння регресії в стандартизованому масштабі.
ty= β1.tx1 + β2.tx2
де 
парні коефіцієнти кореляції
, 
, 
Тоді
Отже,
Рівняння регресії в стандартизованої вигляді:
Отже, найбільший вплив на розмір прибутку () надає продуктивність праці (), ніж експорт ().
3) Оцінити отриману модель:
а) через показник множинної кореляції.
При лінійної залежності індекс множинної кореляції можна обчислювати за формулою:
Оскільки 
дуже близько до 1, це означає наявність дуже тісного зв'язку з і .
б) через показник детермінації.
Тобто, включені в регресію фактори пояснюють 95,7% варіації .
Так як , взаємозалежність факторів висока ( rx1x2 =0,9272 ) ,виключаємо фактор х2 із моделі. Складемо рівняння регресії в формі :
Система рівнянь для оцінки параметрів , :
Розв,язавши систему, одержимо
a= - 7,4194 b = 0,8871
Таким чином
Yt = - 7,4194 + 0,8871*Х1
Оцінимо найдену залежність
= 0,8871.2,49/2,28 = 0,9688
- rxy =0,978-0,9688=0,0092
Різниця становить 0,92 %
ЗАДАЧА II. Задана статистична залежність результату У від факторів Х1 , Х2 , Х3.
Необхідно:
1) дослідити на мультиколінеарність
2)виключити один із взаємозалежних факторів
3)побудувати лінійне рівняння регресії з двома факторами та оцінити його
4)побудувати лінійне рівняння регресії з повним набором факторів та оцінити його
5)порівняти одержані моделі
| X1 | X2 | X3 | Y |
| 4,8 | 3,2 | 5,3 | 65,8 |
| 7,5 | 1,5 | 7,7 | 85,4 |
| 6,9 | 3,6 | 7,2 | 86,9 |
| 8,3 | 1,5 | 8,7 | 93,5 |
| 9,2 | 8,2 | 9,5 | 99,8 |
| 4,4 | 3,7 | 4,1 | 62,4 |
| 3,5 | 3,5 | 3,4 | 52,6 |
| 3,3 | 0,4 | 2,9 | 33,9 |
| 1,2 | 1,7 | 0,2 | 8,8 |
| 5,5 | 5,5 | 5,9 | 82,6 |
| 5,4 | 2,3 | 5,7 | 69,4 |
| 9,7 | 3,5 | 9,8 | 116,3 |
| 6,3 | 2,3 | 6,7 | 77,7 |
| 6,8 | 2,6 | 6,5 | 81,2 |
| 4,4 | 3,5 | 70,5 | |
| 8,9 | 4,5 | ||
| 1,1 | 0,6 | 1,2 | 16,4 |
| 5,7 | 4,5 | 6,2 | 78,5 |
| 3,2 | 6,1 | 3,1 | 59,4 |
| 7,5 | 7,8 | 7,9 | 112,7 |
Для розрахунків збудуємо таблиці
| X1 | X2 | X3 | Y | X1*Y | X2*Y | X3*Y | ||
| 4,8 | 3,2 | 5,3 | 65,8 | 315,84 | 210,56 | 348,74 | ||
| 7,5 | 1,5 | 7,7 | 85,4 | 640,5 | 128,1 | 657,58 | ||
| 6,9 | 3,6 | 7,2 | 86,9 | 599,61 | 312,84 | 625,68 | ||
| 8,3 | 1,5 | 8,7 | 93,5 | 776,05 | 140,25 | 813,45 | ||
| 9,2 | 8,2 | 9,5 | 99,8 | 918,16 | 818,36 | 948,1 | ||
| 4,4 | 3,7 | 4,1 | 62,4 | 274,56 | 230,88 | 255,84 | ||
| 3,5 | 3,5 | 3,4 | 52,6 | 184,1 | 184,1 | 178,84 | ||
| 3,3 | 0,4 | 2,9 | 33,9 | 111,87 | 13,56 | 98,31 | ||
| 1,2 | 1,7 | 0,2 | 8,8 | 10,56 | 14,96 | 1,76 | ||
| 5,5 | 5,5 | 5,9 | 82,6 | 454,3 | 454,3 | 487,34 | ||
| 5,4 | 2,3 | 5,7 | 69,4 | 374,76 | 159,62 | 395,58 | ||
| 9,7 | 3,5 | 9,8 | 116,3 | 1128,11 | 407,05 | 1139,74 | ||
| 6,3 | 2,3 | 6,7 | 77,7 | 489,51 | 178,71 | 520,59 | ||
| 6,8 | 2,6 | 6,5 | 81,2 | 552,16 | 211,12 | 527,8 | ||
| 4,4 | 3,5 | 70,5 | 310,2 | 246,75 | ||||
| 8,9 | 4,5 | 783,2 | ||||||
| 1,1 | 0,6 | 1,2 | 16,4 | 18,04 | 9,84 | 19,68 | ||
| 5,7 | 4,5 | 6,2 | 78,5 | 447,45 | 353,25 | 486,7 | ||
| 3,2 | 6,1 | 3,1 | 59,4 | 190,08 | 362,34 | 184,14 | ||
| 7,5 | 7,8 | 7,9 | 112,7 | 845,25 | 879,06 | 890,33 | ||
| ∑ | ∑ | ∑ | ∑ | |||||
| 109,7 | 74,9 | 110,5 | 1441,8 | 9081,11 | 6098,85 | 9258,2 | ||
| X1cp | X2cp | X3cp | Ycp | X1Ycp | X2Ycp | X3Ycp | ||
| 5,485 | 3,745 | 5,525 | 72,09 | 454,0555 | 304,9425 | 462,91 | ||
| G(y) | G(x1) | G(x2) | G(x3) | |||||
| 27,38171 | 2,309172 | 2,381066 | 2,550466 | |||||
| r(yx1) | r(yx2) | r(yx3) | r(x2x1) | r(x3x1) | r(x2x3 | ) | ||
| 0,927451 | 0,536299 | 0,925206 | 0,303944 | 0,991325 | 0,292265 | |||
| Так як r(x3x1)=0,991325 то | X1 не влючаємо до модели. | |||||||
| Yt=a+b2*x2+b3*x3 | ||||||||
| X2 | X3 | Y | Yt | (Y-Yt)^2 | (Y-Ycp)^2 | |||
| 3,2 | 5,3 | 65,8 | 68,23823 | 5,944972 | 39,5641 | |||
| 1,5 | 7,7 | 85,4 | 84,2044 | 1,429458 | 177,1561 | |||
| 3,6 | 7,2 | 86,9 | 86,71496 | 0,034239 | 219,3361 | |||
| 1,5 | 8,7 | 93,5 | 93,22514 | 0,075546 | 458,3881 | |||
| 8,2 | 9,5 | 99,8 | 122,8419 | 530,9272 | 767,8441 | |||
| 3,7 | 4,1 | 62,4 | 59,08499 | 10,98928 | 93,8961 | |||
| 3,5 | 3,4 | 52,6 | 52,10181 | 0,248192 | 379,8601 | |||
| 0,4 | 2,9 | 33,9 | 37,22721 | 11,07029 | 1458,476 | |||
| 1,7 | 0,2 | 8,8 | 17,21749 | 70,85418 | 4005,624 | |||
| 5,5 | 5,9 | 82,6 | 81,34027 | 1,586919 | 110,4601 | |||
| 2,3 | 5,7 | 69,4 | 68,83756 | 0,316342 | 7,2361 | |||
| 3,5 | 9,8 | 116,3 | 109,8346 | 41,80188 | 1954,524 | |||
| 2,3 | 6,7 | 77,7 | 77,8583 | 0,025059 | 31,4721 | |||
| 2,6 | 6,5 | 81,2 | 77,05714 | 17,16328 | 82,9921 | |||
| 3,5 | 70,5 | 57,51426 | 168,6295 | 2,5281 | ||||
| 8,9 | 4,5 | 80,07846 | 62,75086 | 253,1281 | ||||
| 0,6 | 1,2 | 16,4 | 22,5606 | 37,95303 | 3101,376 | |||
| 4,5 | 6,2 | 78,5 | 80,70319 | 4,854053 | 41,0881 | |||
| 6,1 | 3,1 | 59,4 | 58,08817 | 1,720892 | 161,0361 | |||
| 7,8 | 7,9 | 112,7 | 107,0713 | 31,68172 | 1649,172 | |||
| ∑= | 1000,057 | 14995,16 | ||||||
| a | b2 | b3 | ||||||
| 9,729731 | 3,343302 | 9,020742 | ||||||
| R^2= | 0,933308 | |||||||
| Розв»яжемо задачу з усіма факторами : | ||||||||
| X1 | X2 | X3 | Y | Yt | (Y-Yt)^2 | (Y-Ycp)^2 | ||
| 4,8 | 3,2 | 5,3 | 65,8 | 66,20751 | 0,166065 | 39,5641 | ||
| 7,5 | 1,5 | 7,7 | 85,4 | 84,6553 | 0,554584 | 177,1561 | ||
| 6,9 | 3,6 | 7,2 | 86,9 | 86,37646 | 0,274091 | 219,3361 | ||
| 8,3 | 1,5 | 8,7 | 93,5 | 93,27726 | 0,049615 | 458,3881 | ||
| 9,2 | 8,2 | 9,5 | 99,8 | 123,2536 | 550,0727 | 767,8441 | ||
| 4,4 | 3,7 | 4,1 | 62,4 | 59,89092 | 6,295494 | 93,8961 | ||
| 3,5 | 3,5 | 3,4 | 52,6 | 51,74851 | 0,725028 | 379,8601 | ||
| 3,3 | 0,4 | 2,9 | 33,9 | 38,12643 | 17,86269 | 1458,476 | ||
| 1,2 | 1,7 | 0,2 | 8,8 | 19,36589 | 111,638 | 4005,624 | ||
| 5,5 | 5,5 | 5,9 | 82,6 | 79,86133 | 7,500295 | 110,4601 | ||
| 5,4 | 2,3 | 5,7 | 69,4 | 67,90037 | 2,248892 | 7,2361 | ||
| 9,7 | 3,5 | 9,8 | 116,3 | 111,5389 | 22,66831 | 1954,524 | ||
| 6,3 | 2,3 | 6,7 | 77,7 | 76,94916 | 0,563755 | 31,4721 | ||
| 6,8 | 2,6 | 6,5 | 81,2 | 79,02557 | 4,728132 | 82,9921 | ||
| 4,4 | 3,5 | 70,5 | 58,7144 | 138,9004 | 2,5281 | |||
| 8,9 | 4,5 | 81,58543 | 41,14665 | 253,1281 | ||||
| 1,1 | 0,6 | 1,2 | 16,4 | 20,53947 | 17,13523 | 3101,376 | ||
| 5,7 | 4,5 | 6,2 | 78,5 | 78,99823 | 0,24823 | 41,0881 | ||
| 3,2 | 6,1 | 3,1 | 59,4 | 57,43112 | 3,87648 | 161,0361 | ||
| 7,5 | 7,8 | 7,9 | 112,7 | 106,3542 | 40,26915 | 1649,172 | ||
| ∑= | 966,9238 | 14995,16 | ||||||
| a | b1 | b2 | b3 | |||||
| 7,628175 | 4,268353 | 3,27896 | 5,207277 | R^2= | 0,935518 | |||
Різниця між коефіцієнтами детермінації:
R2(3) –R2(2) = 0,935518 -0,933308 = 0,0022
Таким чином, добавка в модель фактора Х1дає приріст коефіцієнта детермінації лише на 0,22 % .
ЗАДАЧА III Задана статистична залежність результату У від факторів Х1 , Х2 , Х3, X4
| Y | X1 | X2 | X3 | X4 | |
| Необхідно, використовуючи програму EXCEL 1) дослідити на мультиколінеарність 2)виключити один із взаємозалежних факторів 3)побудувати лінійне рівняння регресії з трьома факторами та оцінити його 4)побудувати лінійне рівняння регресії з повним набором факторів та оцінити його 5)порівняти одержані моделі | |||||
|