Алгоритм методу Зейделя

Вхідні параметри: B та c - матриця B та вектор правої частини c системы x=Bx+c; n- порядок матриці B;

k- число ітерацій; x0 - вектор початкового наближення.

Функція zeid повертає двовимірний масив розмірності kxn; i-й рядок якого – це i-е наближення.

 

 

Результат роботи функції zeid - 10 перших наближень

3.7 Оцінка похибки і міра обумовленості

Припустимо, що матриця системи лінійних рівнянь і вектор правих частин задані неточно і замість пред'явленої до розв’язку системи

AХ=b (3.30)

у дійсності розв’язується деяка інша система

A₁X=b₁, (3.31)

де A₁=A+,b₁=b+. Позначимо розв’язки (3.30) і (3.31) через X і X₁ відповідно. Оцінимо похибку розв’язку z = X₁ - X. Підставимо вирази для A₁, b₁ і X₁ у (3.31)

(A+) (X+z) = b + .

Віднімаючи (3.30), одержимо

A z + ^.x + ^.z = ,

z = A^-1 (- ^.x -^. z ),

||z||<=||A^-1||^.(|||| + |||| ^. ||x|| + |||| ||z||). (3.32)

Якщо малі |||| і ||||, то варто очікувати і малості ||z||. Тоді доданок ^.z має більш високий порядок малості. Звідси випливає оцінка похибки

. (3.33)

Досить поширений випадок, коли похибка матриці системи істотно менша похибки правої частини; як модель цієї ситуації будемо розглядати випадок точного задання матриці системи. Тоді, вважаючи = 0 у (3.33), маємо

||z||<=||A^-1||^. ||||. (3.34)

Для якісної характеристики зв'язку між похибками правої частини і розв’язку вводиться поняття обумовленості матриці системи. Абсолютні похибки правої частини і розв’язку системи залежать від масштабів, якими вимірюються ці величини і матриця системи. Тому правильніше характеризувати властивості системи через зв'язок між відносними похибками правої частини і розв’язку. Для відносної похибки розв’язку з (3.34) маємо

. (3.35)

Підставляючи оцінку для ||x|| у (3.35), маємо

. (3.36)

Величину ||A^-1