Квадратурна формула Гауса

Загальний підхід для побудови квадратурної формули для інтегралів полягає у виборі параметрів фіксоване) так, щоб забезпечити максимально можливий степінь точності. Квадратурна формула з такою властивістю носить назву формули Гауса. У розглянутих квадратурних формулах вибирали і знаходили вузли та ваги, а отже, тим самим не було використано всі можливості загальної квадратурної формули.

К.Ф.Гаус звернув увагу, що квадратурна формула має невідомих параметрів та , тобто саме стільки, скільки параметрів має алгебраїчний поліном степеня . Він запропонував підбирати ці параметри так, щоб квадратурна формула була точною для підінтегральної функції у вигляді полінома степеня, не вищого за .

Спочатку для спрощення розглянемо відрізок , тобто інтеграл вигляду

(7.7)

Отже, знайдемо параметри з таких умов:

(7.8)

Це система нелінійних алгебраїчних рівнянь відносно , .

Для подальшого спрощення вважатимемо, що .

Якщо одержимо і система набере вигляду

із другого рівняння випливає, що , тобто дійшли відомої формули середніх для відрізка

яка є точною для будь-якого полінома 1-го степеня.

Якщо , система матиме такий вигляд ():

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

тобто маємо квадратурну формулу

,

яка є точною для будь-якого полінома 3-го степеня.

За довільного як вузли квадратурної формули Гауса беруть нулі поліномів Лежандра

а ваги цієї квадратурної формули визначають за таким виразом:

(7.9)

Маючи значення та вузлів на відрізку , значення інтеграла на довільному відрізку обчислюється за такою квадратурною формулою Гауса:

Похибка квадратурної формули Гауса має вигляд

Зауважимо, що, починаючи з , і вузли, і ваги є ірраціональними числами, а кінці a і b ніколи не входять до вузлів.

Іншими прикладами квадратурних формул типу Гауса є формули Чебишева, Ерміта.