Кривые Безье

Разработаны математиком Пьером Безье. Кривые и поверхности Безье были использова­ны в 60-х годах компанией «Рено» для компьютерного проектирования формы кузовов ав­томобилей. В настоящее время они широко используются в компьютерной графике.

Кривые Безье описываются в параметрической форме: {x = f_x(t), у = f_y(t)}. Значение t выступает как параметр, которому соответствуют координаты отдельной точ­ки линии. Параметрическая форма описания может быть удобнее для некоторых кривых, чем задание в виде функции у = f (x), поскольку функция f (x) может быть намного сложнее, чем f_x(t) и f_y(t). Кроме того f (x) может быть неоднозначной. Например уравнение окружности в параметри­ческом виде: {x(φ) =x₀ + R cos φ; y(φ) =y₀ + R sin φ}, где φ – некоторый угол, — сравните с выражением (13.16).

Многочлены Безье в общем имеют такой вид:

(13.17)

где x_i, и y_i – координаты точек-ориентиров P_i, а величины С_i – коэффициенты бинома Ньютона. Значение m можно рассматривать и как степень полинома, и как значение, которое на единицу меньше количества точек-ориентиров. Параметр t задает точку на кривой — в начальной точке кривой t = 0, в конечной t = 1, каждому значению t в диапазоне от 0 до 1 соответствует некоторая точка на кривой.

Как видно из выражений, вид кривой Безье при заданной степени m однозначно определяется расположением точек-ориентиров P_i. Именно эта особенность делает кривые Безье универсальным и чрезвычайно удобным графическим примитивом.

Рассмотрим кривые Безье, классифицируя их по значениям m и количест­ву точек-ориентиров.

m = 1 (по двум точкам):

(13.18)

Кривая вырождается в отрезок прямой линии, которая определяется конечными точками P₀ и P₀, как показано на рис. 13.4 а.

m = 2 (по трем точкам):

(13.19)

Получаем квадратичную кривую, показанную на рис. 13.4 б.

m = 3 (по четырем точкам):

(13.20)

Кривая Безье 3-го порядка может иметь весьма разнообразную форму, рис. 13.4 в, что позволяет использовать ее для построения различных линий, фигур, контуров произвольной формы. Кривые Безье являются основными графи­ческими примитивами большинства векторных графических редакторов «художественного» назначения (например, Corel Draw, Adobe Illusttrator), а также используются в инженерных и архитектурных пакетах (AutoCAD, ArchiCAD, КОМПАС-3D) для моделирования объектов сложной формы.

Для построения кривой Безье можно использовать зависимости (13.19) и (13.20), рассчитав координаты для набора значений t от 0 до 1 с некоторым шагом. Однако существует алгоритм построения кривых Безье, не требующих выполнения сложных вычислений, возведения в степень. Это геометрический алгоритм, позволяющий найти координаты (х, у) точки кривой Безье по значению параметра t:

1. Каждая сторона контура многоугольника, который проходит по точкам-ориентирам, де­лится пропорционально значению t.

2. Точки деления соединяются отрезками прямых и образуют новый многоугольник. Коли­чество узлов нового контура на единицу меньше, чем количество узлов предшествую­щего контура.

3. Стороны нового контура снова делятся пропорционально значению t. Это продолжается до тех пор, пока не будет получена единственная точка деления. Эта точка и будет точкой кривой Безье.

На рис. 13.5 показаны построения для t = 0,5 (пунктирная линия) и для t = 0,25 (штрих-штрих-пунктирная линия). Процедура нахождения середины отрезка весьма проста, выполняется посредством простых целочисленных операций, поэтому алгоритм может быть легко реализован на ЭВМ и обеспечи­вает высокую скорость построения.