Решение.
Отрезок прямой а заключим во фронтально – проецирующую плоскость
L (а2 º L2).Вспомогательная плоскость L пересечет поверхность октаэдра S. Линией их пересечения m ,будет плоская ломаная линия. Так как L || П2, следовательно, m2 Ì L2.
Горизонтальную проекцию m построим по принадлежности ее октаэдру S, непроецирующей фигуре: точка 1 Ì AF, значит, точка 11 Ì А1 F1 ; точка
2 Ì АВ Þ 21 Ì А1 В1 и т.д.
Определим видимость линии m относительно П1. Видимыми будут те участки ломаной линии m, которые лежат на видимых гранях ABE, BEC, CED.
Отрезок прямой а и линия m принадлежат одной плоскости L, следовательно, они пересекутся в точках M и N: m Ç a = M, N. Эти точки – искомые, так как принадлежат и прямой а и поверхности S.
Определим видимость пересекающихся фигур относительно друг друга.
Между точками М и N отрезок прямой на обеих проекциях невидимый, так как находится внутри поверхности S. Горизонтальная проекция отрезка до точки N1 видимая, потому что точка N лежит на видимой относительно П1 грани ВЕС. М1 – невидимая, значит, горизонтальная проекция а от М1 до А1D1 также невидимая, так как закрыта видимой гранью AED.
Видимость отрезка прямой относительно П2 определяется аналогично.
Пример 1(рис. 7). Построить проекции точек пересечения отрезка прямой а с поверхностью тора S.
Сначала строим проекции поверхности тора S (рис.7б) и проекции отрезка прямойа.
Решение.
Отрезок прямой а заключаем в горизонтально – проецирующую плоскость L, L1 º а1.
Вспомогательная плоскость L пересекает поверхность тора S. Линия пересечения этих фигур – плоская кривая m:
S Ç L=m .
Так как L || П1, следовательно, m1 Ì L1.
Рис.7
Фронтальную проекцию линии m строим по принадлежности ее непроецирующей поверхности S.
Построение любой кривой начинают с построения главных точек.
В данном примере главные точки: 1, 6 – оганичивающие кривую, 3 – высшая, 4 – определяющая границу видимости кривой m относительно П2. Остальные точки – промежуточные.
Фронтальные проекции большинства точек строим по принадлежности параллелям – окружностям, проекции которых на П2 вырождаются в отрезки прямых. Фронтальные проекции точек 1 и 6 строим по принадлежности линии обреза, точки 4 – по принадлежности очерковой образующей.
Высшая точка кривой при пересечении поверхности вращения с плоскостью лежит в осевом сечении поверхности, перпендикулярном секущей плоскости. Поэтому сначала выделяем точку 31 (см. рис. 7б) и при помощи окружности, касательной к L1 строим точку 32.
Видимость линии m относительно П2 определяем по принадлежности ее поверхности тора. Часть линии, проходящей через точки 1, 2, 3, и 4, будет видимой, так как лежит на видимой части поверхности.
Отрезок прямой а принадлежит L. Линия m также принадлежит L,следовательно, линия mпересекается с а в точках М и N, где М и N – искомые точки:
a Ì L; m Ì L Þ a Ç m = M, N
Определяем видимость пересекающихся фигур относительно П1 и П2 и относительно друг друга.
Между точками М и N отрезок прямой а на обеих проекциях будет невидимый. Относительно П1 эти точки видимые, значит, участки отрезка прямой, расположенные за ними будут видны. Относительно П2 точка М – видимая, значит, участок прямой до точки М2 также видимый, точка N – невидимая, участок прямой от N2 до очерковой образующей – невидимый, так как закрыт поверхностью тора.