Метод секущих

 

Расчетная формула:

Критерий останова:

Начальные приближения:

X₀ = 0,8,

X₁ = X₀ – 0,1*(1 – 0,6) = 0,78.

 

n				F()	F()	F()	||
	0,8	0,76	0,72741713	-0,12456	-0,055913871	-0,00054	0,03258287
	0,76	0,727417	0,72710211	-0,05591	-0,000535414	-2,6E-06	0,00031502
	0,727417	0,727102	0,72710056	-0,00054	-2,61461E-06	-1,3E-10	1,5459E-06

 

Ответ:

 

Задача 7. Для заданной таблицы функции f(x) вычислить приближенно значение в точке z с помощью интерполяционного многочлена первой и второй степени. Сделать априорную оценку погрешности.

 

 

 

Решение:

1) Априорная оценка погрешности

Аппроксимирующая функция:

Проверка:

 

 

 

2) Многочлен второй степени. Априорная оценка погрешности:

Проверка:

Ответ:

 

Задача 8. Функция

 

 

Определить и методом наименьшим квадратов. Вычислить величину среднеквадратичной погрешности. Нарисовать графики заданной табличной функции и полученной функции.

 

 

Решение:

Решаем систему методом Гаусса

					0,36250			a	23,77026
	0,36250				-9,14063			b	-63,67179

 

 

x	0,1	0,2	0,25	0,5
y
y1	231,3354	106,1169	79,16308	15,70462
(y1-y)^2	0,441714	4,481363	0,70044	0,087252

 

 

График полученной функции

 

 

 

Задача 9. Вычислить интегралс шагом h = 0,25, используя формулы:

а) центральных прямоугольников, сделать оценку погрешности по правилу Рунге и априорную оценку погрешности

б) трапеций, сделать оценку погрешности по правилу Рунге и априорную оценку погрешности

в) Симпсона сделать оценку погрешности по правилу Рунге

г) квадратуры Гаусса с двумя и тремя узлами в шаблоне.

 

а) Расчетная формула

 

 

Оценим погрешность

 

Погрешность по Рунге. Необходимо найти

 

 

Ответ:

б) Таблица для расчета

 

 

Оценим погрешность

Погрешность по Рунге. Необходимо найти

 

 

 

Уточним результат по Рунге:

 

Ответ:

 

в) Таблица для расчета

 

 

Расчетная формула

 

 

Оценим погрешность

 

Погрешность по Рунге. Необходимо найти

 

 

Ответ:

 

г) Расчетная формула метода:

 

Два узла

 

Три узла

Ответ: для 2 узлов

Для 3 узлов

 

Задача 10. Численно решить задачу Коши на отрезке длиной 0,8 для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Подставим в уравнение:

Пусть

 

i	xi	yi0,2	yi0,4		yут	yт	Ε(xi) = yт - yут / yi0,2/
				-	-
		1,4	-	-	-	1,419757	0,019757
		1,835114	1,8	0,035114	1,870229	1,875458	0,005229
		2,29796	-	-	-	2,353947	0,055987
		2,771128	2,712753	0,058375	2,829503	2,829493	-0,0000108
	-	3,225265	3,604759	-0,37949	2,845771	-	-

 

б) Метод Рунге-Кутты. Расчетная формула:

,

1,418894

1,874102

2,352956

2,830088

3,267471

Погрешность по Рунге h = 0,4

,

1,870229

2,543002

3,635075

0,003873

0,000206

0,35214

i	xi	yi0,2	yi0,4		yут	yт	Ε(xi) = yт - yут / yi0,2/
				-	-
		1,418894	-	-	-	1,419757	0,000863
		1,874102	1,870229	0,003873	1,877976	1,875458	-0,002518
		2,352956	-	-	-	2,353947	0,000991
		2,830088	2,829882	-0,000206	2,829882	2,829493	-0,000389
	-	3,267471	3,635075	-0,35214	2,239285	-	-

 

Графики приближенных решений

График точного решения

 

 

Матрица системы

 

 

n	a	b	c	d
		-54	24,17351	-6,8
	26,00948	-54	23,99052	-6,6
	26,23298	-54	23,76702	-6,4
	26,50597	-54		-53,18806

 

 

n	A	b	c	d
		-204	98,504	-6,9
	101,653	-204	98,347	-6,8
	101,827	-204	98,173	-6,7
	102,019	-204	97,981	-6,6
	102,231	-204	97,769	-6,5
	102,466	-204	97,534	-6,4
	102,725	-204	97,275	-6,3
	103,012	-204	96,988	-6,2
	103,329	-204		-199,443