Уравнение движения сплошной среды в напряжениях

 

Рассмотрим элементарный параллелепипед с ребрами . Объем его . На него действуют массовые и поверхностные силы определяемые главным вектором внешних сил . К параллелепипеду применим закон сохранения количества движения:

 

 

 

Для определения главного вектора поверхностных сил рассмотрим все силы, дающие проекцию на ось х. Для граней перпендикулярных х проекцию дают только силы, создаваемые нормальными напряжениями. Поэтому равнодействующая этих сил равна:

 

 

Аналогично для граней перпендикулярных z получим равнодействующую равную:

 

 

Равнодействующая поверхностных сил в проекции на ось х равна:

 

Тогда закон сохранения количества движения в проекции на х можно записать:

 

 

Полученная система называется системой уравнений движения сплошной среды в напряжениях. В левой части стоит полная производная от скоростей, которые могут быть расписаны через локальные и конвективные составляющие ускорения. При определенных условиях левая часть значительно упрощается (стационарное, двухмерное или одномерное течение).

 

Т.к.

 

систему можно записать в виде одного уравнения в векторной форме записи: