Пусть – функция двух переменных и , каждая из которых является функцией независимой переменной , т.е. , .
Если – дифференцируемая в точке функция, а аргументы и – дифференцируемые функции независимой переменной , т.е. и, то производная сложной функции одной переменной вычисляется по формуле
(3.1).
Если переменная совпадает с одним из аргументов или , например , то производная сложной функции одной переменной находится по формуле
(3.2)
и называется полной производной.
Если – функция двух переменныхи , а аргументы ,являются функциями двух переменных , т.е. и , то функция является функцией двух переменных . Тогда её частные производные и выражаются так:
и . (3.3)
Пример 3.1. Найти полную производную , если и , .
Решение. Найдем частные производные
, , , .
Согласно формуле (3.1) получим:
.
Пример 3.2. Найти частные производные и сложной функции , если , .
Решение. Найдем частные производные
, ,
, , , .
По формулам (3.3) получим:
;
.
Пусть функция от задается неявно с помощью уравнения .Тогда производная неявной функции , где – дифференцируемая функция переменных и , вычисляется по формуле
, при условии . (3.4)
Аналогично, если неявная функция двух переменных задаётся с помощью уравнения , где – дифференцируемая функция переменных , и , то её частные производные определяются по формулам
, , при условии . (3.5)
Пример 3.3. Найти производную , если неявная функция задана уравнением .
Решение. Здесь .
Найдем , .
Тогда получим .
Пример 3.4. Найти частные производные и , если неявная функция задана уравнением .
Решение. Здесь .
Найдем , , .
Тогда и .