Производной функции в точке по направлению вектора называется предел
, где . (5.1)
Если функция дифференцируема, то производная по направлению вектора находится по формуле
, (5.2)
где , , – направляющие косинусы вектора .
Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , координатами которого являются значения частных производных функции в этой точке:
. (5.3)
Градиент функции и производная по направлению вектора связаны формулой (5.4),
где – орт вектора , который находится по формуле .
Линеаризацией функции в точке называется функция вида
. (5.5)
Пример 5.1. Найти градиент и производную функции по направлению вектора в точке . Линеаризовать данную функцию в точке .
Решение. Найдем частные производные заданной функции в точке :
, , .
По формуле (5.3) получим: .
Найдем орт вектора
,
и его направляющие косинусы:
, , .
Согласно формуле (5.4) или (5.2) определим производную по направлению:
.
Найдем значение функции в точке : .
Тогда линеаризация функции по формуле (5.5) принимает вид:
,
или
.