Точка называется точкой максимума функции , если существует такая - окрестность точки , что для каждой точки , отличной от точки из этой окрестности, выполняется неравенство .
Точка называется точкой минимума функции , если существует такая - окрестность точки , что для каждой точки , отличной от точки из этой окрестности, выполняется неравенство .
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.
Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее частные производные в этой точке равны нулю, т.е.
и .
Точки, в которых частные производные первого порядка функции равны нулю, называются стационарными.
Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим значения частных производных второго порядка в этой точке
, , .
Обозначим через . Тогда:
· если , то функция имеет в точке экстремум, а именно, максимум при и минимум при ;
· если , то в этой точке экстремума нет;
· если , то необходимы дополнительные исследования.