Экстремум функции двух переменных

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая - окрестность точки , что для каждой точки , отличной от точки из этой окрестности, выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая - окрестность точки , что для каждой точки , отличной от точки из этой окрестности, выполняется неравенство .

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее частные производные в этой точке равны нулю, т.е.

и .

Точки, в которых частные производные первого порядка функции равны нулю, называются стационарными.

Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим значения частных производных второго порядка в этой точке

, , .

Обозначим через . Тогда:

· если , то функция имеет в точке экстремум, а именно, максимум при и минимум при ;

· если , то в этой точке экстремума нет;

· если , то необходимы дополнительные исследования.