Vocabulaire

обработка – traitement (m) [трэтман]

экспериментальные данные – données expérimentales [доннэ экспэриманталь]

задача – probléme (m) [проблэм]

распространенная задача – probléme très répandu [проблэм трэ рэпандю]

параметр – paramètre (m) [парамэтр]

аппроксимация – approximation (f) [аппроксимасъон]

аппроксимирующая функция – fonction approximative [фонксъон аппроксиматив]

аналитическое выражение – expression analytique [экспрэсъон аналитик]

коэффициент – coefficient (m) [коэфисъян]

входной параметр – paramètre d’entrée [парамэтр дантрэ]

выходной параметр – paramètre de sortie [парамэтр дэ сорти]

отклонение (погрешность) – résidu (m) [рэзидю]

метод наименьших квадратов – méthode de moindres carrées [мэтод дэ моэндр каррэ]

производная – dérivée (f) [дэривэ]

частная производная – dérivée partielle [дэривэ партсъель]

линия – ligne (f)[линь]

точечный график – diagramme du type nuage de points [диаграм дю тип нюаж дэ поэн]

линия регрессии – ligne de régression [линь дэ рэгрэсъон]

корреляция – corrélation (f) [коррэлятъон]

коэффициент корреляции – coefficient de corrélation [коэфисъян дэ корэлятъон]

совпадение – coїncidence (f) [коинсиданс]

полное совпадение – coїncidence juste [полное совпадение]

тенденция – tendence (f) [танданс]

линия трэнда – courbe de tendence [курб дэ танданс]

истина (значение логической переменной) – vrai (f) [врэ]

ложь – faux (m) [фо]

Одной из распространенных задач в науке, технике, экономике является аппроксимация (замена) экспериментальных данных аналитическими зависимостями. То есть нахождение аналитического выражения, с помощью которого можно было бы определять расчетным путем для конкретного значения входного параметра, воздействующего на объект исследования, значение выходного параметра (реакцию объекта). Такой подход существенно экономит материальные средства и время. В этом случае достаточно будет провести только один эксперимент (возможно дорогой, с большими затратами средств и времени) для ограниченного количества значений входного параметра. Затем подобрать аппроксимирующую функцию и в дальнейшем пользоваться этой функцией для расчета значений выходного параметра при других значениях входного параметра.

Проблема аппроксимации решается в два этапа:

этап 1– выбирается вид аналитического выражения (аппроксимирующей функции);

этап 2 – производится расчет параметров (коэффициентов) выбранной функции.

Подобрать параметры зависимости необходимо таким образом, чтобы вычисленные значения этой функции близко совпадали бы с данными эксперимента. Понять суть такой задачи легче на примере.

В результате проведенного эксперимента получен ряд значений, отображающих свойства исследуемого объекта. Обычно экспериментальные данные представляются в табличном виде, как это представлено в таблице 22.1. В ней X –это рядзначений входных параметров, воздействующих на объект (аргумент), аY –ряд выходных значений (функция). Значения параметров x и y определяются с помощью измерительных приборов. Выходные значения представляют собой реакцию объекта экспериментального исследования на входные воздействия.

Таблица 22.1

X	x₁	x₂	. . . .	x_N
Y	y₁	y₂	. . . .	y_N

Например, исследуется характер изменения энэргопотребления каким – либо предприятием в течение суток (месяца, года и т. д.). В этом случае аргументом является значение времени (x), при котором производится измерение потребляемой мощности, а аргументом (y) – само значение измеренной мощности, потребляемой предприятием в момент измерения.

Естественно между x и y существует какая–то связь, y как–то зависит от x, но как? Каким математическим выражением следует отобразить эту зависимость? Вот в чем состоит суть задачи.

Обычно эта задача решается следующим образом:

– в координатной плоскости X–Y по табличным значениям, полученным в результате эксперимента, отображаются экспериментальные точки (рис. 22.1);

– по характеру расположения точек выбирается вид аппроксимирующей функции (линейная, кривая);

– вычисляються коэффициенты этой функции. Например, если выбрана линейная функция вида y = ax+ b, то от значения коэффициента b зависит проходит ли эта линия через начало координат или нет, а от коэффициента a зависит наклон этой прямой.

На рис.22.1 показан пример выбора линейной функции, представленной прямой линией. Эта линия не совпадает со всеми экспериментальными точками. Возникают отклонения экспериментальных точек от аппроксимирующей линии. В реальных условиях очень трудно подобрать аппроксимирующую функцию такую, чтобы она давала полное совпадение со всеми экспериментальными точками.

Рис. 22.1

Естественно, присутствуют отклонения. Они могут быть большими или малыми, в большом или в малом количестве. Поэтому при выборе аппроксимирующей функции следует стремиться к тому, чтобы сумма отклонений была минимальной. Идельный случай, когда она равна нулю. Но для оценки точности аппроксимации брать алгебраическую сумму отклонений нельзя. Такая оценка можеть давать ложный результат. В самом деле, можно иметь значительные отклонения как в одну сторону от аппроксимирующей кривой (положительные), так и в другую сторону (отрицательные). В сумме все эти отклонения могут дать значение нуль. Если верить этому результату, то можно заключить, что аппроксимирующая функция выбрана идеально и отклонения совершенно отсутствуют, но это не так. Поэтому в качестве оценки погрешности аппроксимации выбирают не сумму абсолютных отклонений, а сумму их квадратов. В этом случае отклонения будут иметь только положительный знак, что позволит избежать вышеупомянутой ошибки. При этом расчет коэффициентов аппроксимирующей функции производят из условия получения минимальной суммы квадратов отклонений. Такой метод расчета коэффициентов получил название метод наименьших квадратов.

Таким образом проблема аппроксимации сводится к математической задаче

построения аналитической зависимости y = f (x), наиболее близко описывающей результаты эксперимента. То есть следует построить функцию вида y=f(x, a₀ a₁, ..., a_k) таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y_iот расчетных f(x_i, a₀, a₁, ..., a_k) была бы наименьшей.

Математически эта задача равносильна следующей:

найти значение параметров a₀, a₁, a₂ , ...,a_k,при которых функция S принимала бы минимальное значение.

(22.1)

Поиск минимума функции сводится к решению системы уравнений в частных производных:

(22.2)

Если параметры a_iвходят в зависимость y=f(x,a_o,a₁, …, a_k) линейно, то получается система линейных уравнений:

(22.3)

Решение системы (22.3), позволяет определить параметры a_o, a₁, ..., a_k и получить аппроксимирующую зависимость y = f(x, a_o, a₁, ..., a_k).