Аппроксимация степенными функциями

Подбор параметров функции y = ax^b

Для нахождения параметров функции y=ax^b производится логарифмирование функции y:

Ln y = Ln a + b Ln x.

Затем производится замена Y=lny; А=lna; X = lnx. В результате получается линейная зависимость Y = A + bX. Определяются коэффициенты линии регрессии A и b. Затем определяется коэффициент a = e^A. Таким образом вычисляются коэффициенты функции y=ax^b.

Подбор параметров функции y = ae^bx

Логарифмируется выражение y = ae^bx и получается Ln y = Ln a + bx Ln e.

Производится замена Y = Lny, A = Lna.

Подстановка позволяет получить линейную зависимость Y=bx+A.

Вычисляются коэффициенты линейной функции A и b, а затем и коэффициент a = e^A .

В приведенной ниже таблице показаны замены переменных, которые преобразовывают функции вида y = f (x, a, b) к линейной зависимости Y= Ax+B.

Y=f(x,a,b)	Замена

Подбор параметров функции y =ax^b e^cx

Логарифмируется выражение y = ax^b e^cx.

После логарифмирования оно принимает вид:

Ln(y) = Ln(a)+b Ln(x)+cx Ln(e) (22.9)

Производится замена Y=Ln(y), A=Ln(a). После замены выражение (22.9) принимает вид:

Y = A+b Ln(x)+cx(22.10)

Для функции (22.10) составляется функция S в соответствии с формулой (22.1):

(22.11)

Параметры A, bи c следует выбрать таким образом, чтобы функция S была минимальной. Необходимым условием минимума S являются соотношения (22.2). Подставляется (22.11) в (22.2), и после элементарных преобразований получается система трёх линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов A, bи c.

(22.12)

Решение системы (22.12), позволяет получить значения коэффициентов A, b, c. После чего вычисляется коэффициент a=e^A.