Принцип Даламбера для механічної системи

 

Далі розглянемо механічну систему, яка складається з n матеріальних точок. Виділимо якусь із точок системи з масою m_k. Під впливом прикладених до неї зовнішніх та внутрішніх сил і (до яких входять активні сили, і реакції в’язей) точка буде рухатись по відношенню до інерціальної системи відліку з деяким прискоренням . Після введення для цієї точки сили інерції , одержимо

0,

тобто сили , і складають врівноважену систему сил. Такі ж рівняння можна скласти для всіх точок системи. В результаті матимемо систему рівнянь

;

… … … … … …

.

Одержана система рівнянь і визначає принцип Даламбера для системи: якщо в будь-який момент часу до кожної з точок системи крім зовнішніх і внутрішніх сил, які діють на неї, приєднати відповідні сили інерції, то одержана система сил буде врівноваженою і до неї можна застосовувати всі рівняння статики.

Якщо механічна система складається з багатьох точок або тіл, то при використанні рівнянь матимуть місце ті ж самі складнощі, що і в випадку застосування диференціальних рівнянь руху системи. Але, оскільки, рівняння еквівалентні диференціальним рівнянням руху механічної системи, то з принципу Даламбера можна одержати загальні теореми динаміки.

Додамо рівняння, в результаті одержимо

Врахувавши, що згідно властивостей внутрішніх сил та, ввівши позначення , одержимо

0.

Величина називається головним вектором системи сил інерції. Одержане рівняння, очевидно, є аналогом теореми про зміну кількості руху механічної системи.

Далі візьмемо радіус-вектор , проведений з якогось довільного центру О до точок прикладання сил, і знайдемо його векторні добутки, помноживши на кожне з рівнянь

;

… … … … … … … …

,

або

.

Врахувавши, що згідно властивостей внутрішніх сил та, ввівши позначення , матимемо

0.

Величина називається головним моментом системи сил інерції відносно центру О. Одержане рівняння є аналогом теореми про зміну головного моменту кількостей руху механічної системи.

Застосування рівнянь, які випливають з принципу Далам­бера, спрощує процес розв’язування задач, оскільки ці рівняння не містять внутрішніх сил.

Одержаними виразами зручно користуватися при вивченні руху твердого тіла або системи твердих тіл.

В проекціях на координатні осі вирази дають рівняння, ана­логічні відповідним рівнянням статики. Щоб користуватися цими рівняннями при розв’язанні задач, треба знати вирази для головного вектора і головного моменту сил інерції.