Диференціальні рівняння руху механічної системи. Метод кінетостатики.

Рух кожної матеріальної точки в механічній системі описується другим законом динаміки, який із врахуванням поділу сил на зовнішні та внутрішні має вигляд

де – маса k-ї точки системи; – рівнодійна всіх прикладених до точки зовнішніх сил; – рівнодійна всіх внутрішніх сил; – прискорення, яке точка отримує під дією сил.

Для знаходження закону руху точок механічної системи необхідно скласти рівняння виду для всіх точок і розв’язати одержану систему рівнянь.

В проекціях на координатні осі системи рівнянь матимуть вигляд

; ; ;

; ; ;

…………………; …………………; …………………;

. . .

Якщо механічна система складається з невеликої кількості точок, то наведені системи рівнянь можна розв’язати. Але в загальному випадку розв’язання систем рівнянь є дуже скла­дною математичною задачею. Тому для знаходження окремих характеристик руху механічної системи застосовуються інші методи, які можна одержати з наведених рівнянь.

Метод розв’язування задач динаміки з використанням принципу Даламбера, називається методом кінетостатики. Вказаним методом особливо зручно користуватись для знаходження реакцій в’язей, якщо рух системи відомий, або ж характеристики руху можна визначити за допомогою рівнянь, що не містять реакцій, наприклад, використавши теорему про зміну кінетичної енергії системи. При цьому з розгляду виключаються всі наперед невідомі внутрішні сили. Коли ж необхідно визначити реакції внутрішніх в’язей, система розділяється на частини, по відношенню до яких невідомі сили будуть зовнішніми.

 

Розглянемо приклад застосування методу кінетостатики.

Два тягарі масами М₁ і М₂ (М₁ > М₂) прив’язані до нерозтяжної нитки, перекинутої через блок масою М₃ радіусом r, який може обертатися навколо нерухомої осі О. Визначити прискорення тягарів та реакції підшипника. Масу блока вважати рівномірно розподіленою по ободу, а масою нитки знехтувати.

Розв’язання: прикладаємо до механічної системи з трьох тіл сили ваги ,і тягарів та блока і реакції та підшипника. Вводимо сили інерції тягарів: F₁ ^I = М₁a; F₂ ^I = М₂a; напрямки сил протилежні прискоренню (див. рис. 5.2). Головний момент сил інерції блока: М^І = І_О ε, де І_О = М₃ r² – момент інерції блока, а ε – кутове прискорення. Оскільки ε = a/r, то М^І = М₃ rа . Напрямок моменту протилежний кутовому прискоренню (див. рис. 5.2).

Для плоскої системи сил складаємо три рівняння рівноваги:

-Р₁r + P₂ r + F₁^I r + F₂^I r + M^I = 0;

(-M₁g + M₂ g + M₁a + M₂a + M₃a) r = 0;

a =

X_O = 0; Y_O - Р₁ - P₂ - P₃ + F₁^I - F₂^I = 0;

Y_O = Р₁ + P₂ + P₃ + F₂^I - F₁^I = (M₁ + M₂ + M₃)g + (M₂ - M₁)a = =

 

З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: механічна система. Сили зовнішні і внутрішні. Властивості внутрішніх сил – с. 263-264; сумарні характеристики системи; принцип Даламбера для точки - с. 344-345; принцип Даламбера для механічної системи – с. 345-346; головний вектор і головний момент сил інерції – с. 346-347; зведення сил інерції твердого тіла до центру – с. 347-348; диферен­ціальні рівняння руху механічної системи – с. 273-274 .метод кінетостатики – с. 348-352.