Момент інерції тіла відносно осі. Радіус інерції

 

Моментомінерції тіла (системи) відносно даної осі Oz (або осьовим моментом інерції) називається скалярна величина, яка дорівнює сумі добутків мас усіх точок тіла (системи) на квадрати їх віддалей до цієї осі:

.

 

Далі буде показано, що осьовий момент інерції відіграє при обертальному русі таку ж роль, яку маса при поступальному русі, тобто осьовий момент інерції є мірою інертності тіла при обертальному русі.

Згідно наведеної формули момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції всіх його частин відносно тієї ж осі. Для однієї матеріальної точки, яка знаходиться на віддалі h від осі, J_z = mh². Одиницею виміру моменту інерції в системі СІ є 1 кгм²

Для обчислення осьових моментів інерції можна віддалі точок до осей виразити через координати x_k, y_k, z_k цих точок, наприклад, квадрат віддалі до осі Oz буде (див. рис. 5.3).

Тоді моменти інерції відносно осей Ox, Оy і Оz визначаться формулами:

_{, ,} .

Часто замість моменту інерції користуються поняттям радіуса інерції.

Радіусом інерції тіла відносно осі Oz називається лінійна величина ρ_z, яка визначається рівністю

I_z = M

де М – маса тіла.

Із наведеного виразу випливає, що радіус інерції геометрично дорів­нює віддалі від осі Oz дотієї точки, в якій треба зосередити масу всього тіла, щоб момент інерції однієї точки дорівню­вав моменту інерції всього тіла.

Наведені формули справедливі як для твердого тіла, так і для будь-якої системи матеріальних точок. Для механічної системи момент інерції є змінною величиною.

Тверде тіло можна розбити на елементарні частинки масою , де - густина (маса одиниці об’єму), а dV- об’єм елементарної частинки. При цьому суми заміняться на інтеграли по об’єму

, або .

 

Аналогічно формули для інших осей матимуть вигляд

, .

Врахувавши, що елементарний об’єм

dV = dxdydz,

матимемо

і т. д.,

тобто в загальному випадку інтеграли будуть потрійними.

Наведеними формулами користуються при обчисленні моментів інерції однорідних тіл правильної форми. При цьому густина буде постійною і винесеться з-під знаку інте­грала.