Теорема про зміну моменту кількості руху точки

Теорема про зміну моменту кількості руху встановлює, як змінюється з часом вектор . Для її доведення візьмемо похідну по часу від виразу для моменту кількості руху точки

Величина = 0. як векторний добуток двох паралельних векторів, а , де . Отже,

, або .

Таким чином, доведено теорему про зміну моменту кількості руху відносно центру: похідна по часу від моменту кількості руху точки, взята відносно будь-якого нерухомого центру, дорівнює моменту сили, яка діє на точку, відносно того ж центру.

При проектуванні обох частин одержаного рівняння на довільну вісь Oz, яка проходить через центр О, одержимо

Це рівняння виражає теорему про зміну моменту кількості руху точки відносно осі.

Теорема про зміну головного моменту кількостей руху системи (теорема моментів)

Теорема про зміну моменту кількості руху, доведена для однієї матеріальної точки, буде справедлива для кожної з точок системи. Отже, якщо розглядати точку системи з масою m_k, яка має швидкість , то для неї вираз теореми матиме вигляд

де та - рівнодійні всіх внутрішніх та зовнішніх сил, які діють на точку.

Склавши такі рівняння для всіх точок системи та додавши їх почленно, одержимо

Але остання сума за властивістю внутрішніх сил системи дорівнює нулю, а вираз в квадратних дужках є, за визначенням, головним моментом кількостей руху системи. Тоді

Одержане рівняння визначає теорему моментів для системи: похідна по часу від головного моменту кількостей руху системи відносно будь-якого нерухомого центру дорівнює сумі моментів всіх зовнішніх сил системи відносно того ж центру.

Проектуючи обидві частини рівняння на нерухомі осі Oxyz , матимемо:

, , .

Наведені рівняння визначають теорему моментів відносно осі.

Теоремою користуються при вивченні обертального руху тіла. В вирази теореми моментів не входять внутрішні сили. Саме в цьому полягає практична цінність теореми: при наявності невідомих сил треба вибрати систему так, щоб вони стали внутрішніми, тоді ці сили будуть виключені з розгляду.