Диференціальні рівняння руху точки

При вивченні розділу “Кінематика точки” (див. лекцію 5) було встановлено, що вектор прискорення точки визначається другою похідною по часу від її радіуса-вектора: . Під­ставивши величину у вираз для другого закону динаміки, одержимо диференціальне рівняння руху точки у векторній фо­рмі

.

Користуватись векторним рівнянням при розв’язуванні задач динаміки не дуже зручно, тому знайдемо інші форми рівняння.

Рівняння в прямокутних декартових координатах. З кінематики відомо, що проекція вектора прискорення на координатну вісь дорівнює другій похідній по часу від відповідної координати. Спроектувавши векторний вираз другого закону динаміки на осі прямокутної декартової системи координат, одержимо

де двома крапками позначені другі похідні по часу.

Рівняння в проекціях на осі натурального тригранника. Спроектуємо векторний вираз другого закону динаміки на осі Мτnb, тобто на дотичну Мτ до траєкторії точки, головну нормаль Мn, направлену в бік ввігнутості траєкторії, і бінормаль Мb. Вирази для проекцій прискорення на вказані осі відомі з кінематики. В результаті одержимо

де v – швидкість точки, а ρ – радіус кривизни траєкторії.