Теорема про зміну кінетичної енергії точки

 

Знайдемо залежність, якою пов’язані кінетична енергія і робота сили. З цією метою розглянемо матеріальну точку з масою m, яка переміщується з положення М₀, де вона має швидкість v₀, в положення М₁, де її швидкість v₁.

Для знаходження вказаної залежності звернемось до основного закону динаміки . Проектуючи обидві його частини на дотичну Мτ до траєкторії точки М, спрямовану в бік руху точки, одержимо

.

Дотичне прискорення, яке входить в одержаний вираз, покажемо у вигляді

.

Тоді

.

Помножимо обидві частини цієї рівності на ds і внесемо m під знак диференціала. Оскільки , де - елементарна робота сили , одержимо вираз теореми про зміну кінетичної енергії точки в диференціальній формі:

.

Проінтегрувавши обидві частини цієї рівності в межах, які відповідають величинам змінних в точках М₀ і М₁, знайдемо остаточно

.

Одержане рівняння є аналітичним виразом теореми про зміну кінетичної енергії точки в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії точки при деякому її переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робот усіх сил, які діють на точку на тому ж переміщенні.

Теорема про зміну кінетичної енергії дозволяє, знаючи, як при русі точки змінюється її швидкість, визначити роботу сил (перша задача динаміки) або, знаючи роботу сил, визначити, як змінюється при русі швидкість точки (друга задача динаміки).

При розв’язанні другої задачі, коли задані сили, треба обчислити їх роботу. Як видно з одержаного виразу, це можна зробити лише тоді, коли сили незмінні або залежать тільки від положення (координат) точки, яка рухається, наприклад, сили ваги.

Теорему в диференціальній формі можна застосовувати при будь-яких діючих силах.

Розглянемо приклад застосування теореми для розв’язування задач.

Шахтова кліть рухається вниз зі швидкістю v₀ = 12 м/с. Маса кліті 6 т. Яку силу тертя між кліттю і стінками шахти повинен розвити запобіжний парашут, щоб зупинити кліть на протязі шляху s = 10 м, якщо канат, який утримує кліть, обірвався? Силу тертя вважати постійною.

Розв’язання: прикладаємо до кліті силу ваги і силу тертя. Оскільки при спрацюванні парашута сили тертя діють симетри­чно відносно осі кліті, результуючу силу показуємо на осі (рис. 8.2). В даному випадку кліть, яку вважаємо матеріальною точкою, рухається прямолінійно.

Запишемо вираз теореми про зміну кі­нетичної енергії точки для випадку прямо­лінійного руху

При зупинці кліті v₁ = 0, тоді

З останнього виразу знаходимо

.

Після підстановки числових величин маємо: F_тер = 102 кН.