За другим законом Кирхгофа t ≥ 0 маємо:
.
Враховуючи те, що , одержуємо диференціальне рівняння другого порядку для вільної складової напруги
.
Характеристичне рівняння при цьому має вигляд:
Характер електромагнітних процесів у контурі залежить від співвідношення параметрів R, L, С, що входять у вираз для коренів характеристичного рівняння
.
Залежно від знака підкореневого виразу корені можуть бути дійсними або комплексно- -спряжені. Вони визначають характер вільних складових перехідних струмів і напруг.
Введемо позначення:
– коефіцієнт загасання вільної складової;
тоді .
В залежності від співвідношення між величинами R, L та С отримаємо три варіанти коренів характеристичного рівняння:
а) при корені будуть дійсними та різними, а перехідний процес – аперіодичним;
б) при одержимо два дійсних, однакових кореня , що відповідає граничному аперіодичному режиму. Параметри кола, за яких відбувається цей режим, називаються критичними i між ними існує така залежність: ;
в) при корені p вийдуть комплексно-спряженими
,
а перехідний процес матиме коливальний характер, в якому d характеризує згасання амплітуди коливань, а – їх частоту.