Пересечение поверхности геометрического тела с плоскостью

 

 

Построение линии пересечения поверхности с плоскостью применяется при образовании форм различных деталей строительных конструкций, при вычерчивании разрезов и планов зданий и сооружений, разрезов и сечений различных деталей зданий (балок, панелей и плит перекрытий, стен, элементов конструкций, машин и т.д.).

Линия пересечения поверхности с плоскостью является линией, одновременно принадлежащей поверхности и секущей плоскости.

Замкнутая фигура, образованная линией пересечения поверхности тела секущей плоскостью, называется сечением и является частью

секущей плоскости, заключенной внутри поверхности.

Линией пересечения поверхности и плоскости может быть прямая, ломаная или кривая линия в зависимости от того, какая поверхность пересекается с плоскостью и как плоскость расположена относительно поверхности. О характере линии пересечения часто можно знать прежде, чем она построена; в связи с этим и выбирается тот или иной способ ее построения. Если линия пересечения – прямая, достаточно найти две ее точки, если ломаная, нужно знать положение точек излома, если линия пересечения – кривая, необходимо найти столько ее точек, чтобы с достаточной для практики точностью построить проекции линии.

Чтобы построить линию пересечения поверхности какого-либо геометрического тела с плоскостью, необходимо определить точки пересечения с данной плоскостью ребер поверхности, если поверхность является многогранником, или отдельных образующих поверхности тела, если последняя является кривой поверхностью. Соединив последовательно найденные точки прямыми линиями (если поверхность является многогранником) или плавной кривой линией (в случае пересечения с плоскостью кривой поверхности), получим искомую линию пересечения.

 

 

 

а) б)

 

 

 

в) г) д)

 

 

Рис. 80

 

Прежде чем перейти к построению линии пересечения поверхностей вращения плоскостью, рассмотрим так называемые конические сечения – линии, полученные в результате пересечения поверхности конуса секущей плоскостью (рис. 80).

При пересечения конуса плоскостью, могут образоваться:

1. окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (рис. 80 а);

2. эллипс, если секущая плоскость пересекает ось и не перпендикулярна ей (рис. 80 б);

3. парабола, если секущая плоскость пересекает одну полу конуса и параллельна одной образующей конуса (рис.

80в);

4. гипербола, если секущая плоскость пересекает обе полы конуса и параллельна двум его образующим (рис. 80 г);

5. пересекающиеся прямые, являющиеся образующими конуса, если секущая плоскость проходит через вершину поверхности конуса (рис. 80 д).

 

 

Задача. Построить проекции линии пересечения поверхности горизонтально проецирующего цилиндра Г с фронтально проецирующей плоскостью Σ (рис.81).

Решение:

 

Рис. 81

 

 

В пространстве линия пересечения (m) поверхности цилиндра Г с плоскостью Σ представляет собой эллипс. На эпюре горизонтальная проекция данной линии пересечения совпадает с горизонтальным следом цилиндра Г (ГП1), а фронтальная проекция – с фронтальным следом плоскости Σ (ΣП2). Итак, m2≡ ΣП2– прямая, m1 ≡ ГП1 – окружность.

 

Задача. Построить проекции линии пересечения поверхности конуса с плоскостью общего положения Р.

Решение:

В данном случае необходимо построить обе проекции линии пересечения поверхности с плоскостью Р. Решение задачи выполнено двумя способами (рис. 82).

Рассмотрим первый способ.Точки пересечения отдельных образующих конуса с заданной плоскостью определяются с помощью вспомогательных секущих плоскостей аналогично построению точки пересечения прямой с плоскостью. Сечение конуса неполное, оно включает линию пересечения основания конуса. Две точки

определяются в горизонтальной плоскости в пересечении горизонтального следа РП1плоскости с окружностью основания конуса. Построим характерные точки линии пересечения (наивысшую точку, точки перехода видимости).

Точка пересечения очерковой образующей S111, S212с плоскостью (точка перехода видимости) определяется с помощью вспомогательной фронтальной плоскости Q, проведенной через ось конуса и пересекающей плоскость по фронтали mf. В пересечении ее

фронтальной проекции с очерковой образующей конуса определяем проекции точки 2.

Наивысшая точка линии пересечения 6 расположена на линии

наибольшего ската плоскости, проходящей через ось конуса. Она определяется с помощью вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости δ.

Промежуточные точки линии пересечения 8 и 9 построены с помощью горизонтальной плоскости Г, которая пересекает конус по окружности радиуса R, а плоскость Р – по горизонтали.

Кривая линия пересечения представляет собой часть эллипса. Это можно определить построением, продолжив фронтальную проекцию n2 t2 линии пересечения плоскостей δ и Р до пересечения с образующей S232 конуса. Если бы линия пересечения плоскостей оказалась параллельной образующей S131, то сечение было бы параболой.

Чтобы упростить решение задачи и уменьшить количество построений, можно применить второй способ. Он заключается в преобразовании чертежа заменой фронтальной плоскости проекций, при котором заданная плоскость общего положения Р преобразуется во фронтально проецирующую. Новая ось Х14 и фронтальная плоскость проекций П4выбираются перпендикулярными заданной плоскости и ее горизонтальному следу РП1.Новый фронтальный след РП4проходит через точку Р14и точки 84 ≡ 94 , которые построены

 

откладыванием аппликаты ∆Z произвольной точки 7, взятой на заменяемом фронтальном следе РП2. Таким образом, вся линия пересечения поверхности конуса и плоскости Р преобразовалась в одну линию, которую последовательно по точкам переносим сначала на горизонтальную плоскость проекций, а затем – на фронтальную.

 

 

 

 

Рис. 82