Лiтература

 

1. Кафаpов В.В. Методы кибеpнетики в химии и химической технологии:4-е изд., пеpеpаб., доп.- М.: Химия, 1985 (учебн. для ву­зов), 448 с., ил.

2. Ахназаpова С.Л., Кафаpов В.В. Оптимизация экспе­pи­мен­та в химии и химической технологии: Учебн. пособие для химико-техно­ло­ги­чес­ких вузов.- М.: Высш. школа, 1978.- 319 с., ил.

3. Статистические методы в инженеpных исследованиях (лабоpатоpный пpак­тикум): Учеб. Пособие / Боpодюк В. П, Вощинин А. П., Иванов А. З., и дp.; Под ред. Г. К. Кpуга.- М.: Высш. школа, 1983.- 216 с., ил.

4. Методические указания к выполнению экспериментальных ис­­следований по УНИРС для студентов специальности 1209 “Водоснабжение и канализация”. Плани­ро­ва­ние эксперимента по очистке сточных вод. Ровно: УИИВХ, 1977. – 30 с.

 

 

ЛAБОРАТОРНА РОБОТА № 5. ОПТИМАЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ СЕКЦІЙНОГО ВОДО-ВОДЯНОГО ТЕПЛООБМІННИКА

 

Тpивалiсть pоботи - 2 год.

 

1 МЕТА РОБОТИ: Необхідно запроектувати оптимальний трубчастий проти­точ­ний водо-водяний теп­­ло­­обмінник на основі його математичної моделі.

 

2 ЗАГАЛЬНI ПОЛОЖЕННЯ

 

В лабораторній роботі необхідно представити повний опис моделюємого об'єкту і принципу його роботи, розрахувати параметри робочого тіла в характерних точках цик­лу, процесу або установки, визначити основні показники ефективності: ККД, пи­то­мі витрати тепла і палива, втрати тиску тощо. Всі розрахунки зробити за інженерними методиками, тобто з урахуванням втрат тепла тощо.

Математична модель повинна являти собою систему інтегральних, диферен­цій­них або алгебраїчних рівнянь, що описують фізичні процеси, які відбуваються у мо­де­лю­­ємому об'єкті.

Зазвичай ця система містить у собі:

- рівняння зберігання енергії;

- рівняння зберігання маси;

- рівняння зберігання кількості імпульсу;

- рівняння теплопередачі;

- рівняння масовіддачі.

Принципи побудови моделей теплоенергетичних установок докладно розглянуті в [1, 3, 7, 5, 13] і викладати їх у даних методичних вказівках немає потреби.

Вибір критерію оптимізації (або ефективності) - це вибір показника, на основі яко­го знаходяться найбільш раціональні (оптимальні) параметри роботи установки. Як критерій оптимізації можна вибирати термічний, ефективний, ексергетичний або пов­ний ККД установки; питомі показники: витрати палива або тепла; техніко-еко­но­міч­ні: річні приведені витрати, собівартість, прибуток, рентабельність, збиток тощо.

За параметри оптимізації можна вибирати як конструктивні (діаметр, товщину, крок і кількість труб тощо), так і параметри енергоносіїв (швидкості, температури, ви­т­рати тощо). Кількість оптимізуємих параметрів у данній роботі рекомендується ви­бирати не менше двох і не більш чотирьох. На обрані параметри встановлюють обме­жен­­ня, базуючись на фізичному змісті або технічних умовах роботи моделюємого об'єк­­ту. Наприклад: швидкість води в трубах не може бути від’ємною (нижня межа) і не може перевищувати 2-15 м/с за технічних умов (верхня межа).

Обраний критерій оптимізації повинен зв'язувати оптимізуємі параметри між собою (бути залежними від них), а зв'язок цей повинен бути обов'язково нелінійний. Вста­новивши обмеження на параметри, що оптимизуються, роблять дослідження об­ра­ного критерію на екстремум (пошук мінімуму або максимуму функції декількох змін­них при наявності обмежень). Для цього можна скористуватися одним з мате­ма­тичних ме­тодів пошуку екстремуму. Рекомендується вибирати чисельні методи рі­шен­ня задач умов­ної оптимізації [1, 4, 7, 10]. Для обраного методу необхідно скласти програму і ви­конати всі необхідні розрахунки. Результатом цих розрахунків повинні бути оп­ти­мальні параметри роботи оптимізуємого об'єкту або його оп­ти­мальні конструктивні ха­рак­­те­рис­ти­ки. Можна також скористатися такими прикладними про­­грамами, як EXСEL, MathCad, Mathematica або іншими широко доступними спе­­ціалізованими про­грамами або мовами програмування BASIC, PASCAL, Delphi, С++.

У звіті необхідно навести блок-схему алгоритму і програму оптимізації. Гра­фіч­на частина ви­конується на комп'ютері за допомогою доступних засобів ком­п'ю­тер­ної гра­фіки. Рекомендується виконати схему установки, що мо­де­люється і оп­ти­ми­зується з ука­зів­кою всіх потоків робочих тіл, параметрів, розмірів, а також при­б­лиз­ний графік оп­ти­мізуємої функції з урахуванням обмежень на всі оптимізуємі пара­мет­ри.

3 ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

3.1 Опис апарата, що моделюється

Необхідно запроектувати оптимальний трубчастий протиточний водо-водяний теп­­ло­­обмінник, у якому гаряча вода рухається по трубах діаметром d_зн/d_вн, із тиском на вхо­ді P₁, охолоджується від t₁₁ до t₁₂. Масова витрата води, що гріє, G₁. Нагріваєма во­да рухається по міжтрубному просторі з тиском на вході P₂ і змінює свою темпе­ра­ту­ру від t₂₁ до t₂₂ (мал. 1). Більш детальний опис теплообмінника можна знайти у [2, 3, 8].

 

 

Мал. 1. Схема водо-во­дя­ного теплообмінника

3.2 Загальна математична модель рекуперативного теплообмінного апарату

У рекуперативних теплообмінних апаратах перенос тепла здійснюється крізь роз­діля­ю­чу стінку. Універсальна математична модель такого апарату при ламінарній течії теп­лоносіїв представляє собою систему рівнянь – переносу імпульсу, суцільності, переносу енергії, переносу тепла у твердому тілі [3, 8].

(1)

 

де Р_1, Р₂ – тиск у каналах першого та другого теплоносіїв;

w_x, w_y, w_z - проекції вектору швидкості потоку першого та другого теплоносіїв;

t₁, t₂ - температури у каналах першого та другого теплоносіїв;

g_x, g_y, g_z - проекції прискорення свободного тяжіння;

q - температура розділяючої стінки;

r₁, r₂, r_Т - густина першого та другого теплоносіїв і матеріалу стінки;

с_р1, с_р2, с_рТ - питомі теплоємкості;

l₁, l₂, l_Т - коефіцієнти теплопровідності;

m₁, m₂, - динамічна в’язкість першого і другого теплоносіїв*¹.

Густина теплоносіїв залежить від тиску та температури, тому до системи рівнянь треба додати рівняння термодинамічного стану теплоносів:

Таким чином маємо систему з тринадцяти рівнянь із тринадцятьма невідомими: w_1x, w_1y, w_1z, w_2x, w_2y, w_2z, t₁, t₂, P₁, P₂, q, r_1, r₂. Для отримання єдиного рішення системи треба приєднати крайові умови. Аналітичне рішення цієї системи рівнянь навіть для найпростіших видів теплообмінників пов’язано з великими технічними і матема­тич­ними труднощами. Це пов’язано, перш за все, з наявністю пограничного ша­ру та про­це­сами тепловіддачі у ньому. Проблема з розв’язанням системи може бути ви­рішена шляхом визначення коефіцієнта тепловіддачі за емпіричними формулами.

Ввівші поняття коефіцієнтів тепловіддачі, теплопередачі і встановлюючи умови взаємодії теплоносіїв та твердого тіла у вигляді:

а також прийнявши одномірну течію теплоносіїв, отримуємо спрощену систему рів­нянь:

(2)

Для стаціонарного режиму роботи теплообмінника з каналами постійного про­хід­ного перетину рівняння приймають вид:

(3)

 

Інтегрування системи рівнянь дає інтегральну математичну модель стаціо­нар­но­го теплообмінного апарату рекуперативного типу [3, 8]:

(4)

Або припускаючи, що x₁₁=x₁₂, x₂₁=x₂₂, w₁₁=w₁₂=w₁,w₂₁=w₂₂=w₂ останні два рів­нян­­ня перетворюються до:

До системи (4) треба додати такі рівняння:

r=f(p,t), c_p=f(t) – залежності теплофізичних властивостей від параметрів стану теплоносіїв;

f₁= n p d² /4; f₂=…(залежить від типу і конструкції теплообмінника) - живі пе­ре­ти­ни каналів для першого і другого теплоносіїв;

Re₁=w₁ d₁ r₁ /m₁; Re₂=w₂ d₂r₂ /m₂ - числа Рейнольдса для першого і другого теплоносіїв;

Pr₁=a₁r₁/m₁; Pr₂= a₂r₂/m₂ - числа Прандтля для першого і другого теплоносіїв;

Nu₁=a₁d₁/l₁ ; Nu₂=a₂d₂/l₂ - числа Нуссельта для першого і другого теплоносіїв;

Nu₁=f₁(Re, Pr); Nu₂=f₂(Re, Pr) - емпіричні рівняння тепловіддачі для першого і другого теплоносіїв;

l_1тр =f₁(Re₁, D)_, l_2тр =f₂(Re₂, D ) - коефіцієнти тертя при просуванні теплоносіїв у каналах;

F=pdnl - площа поверхні теплообміну.

Для конструктивного розрахунку невідомими параметрами є конструктивні па­ра­метри теплообмінника: довжина трубок - l, діаметр трубок - d, крок міжтрубного про­стору - s (входить до формули визначення еквівалентного розміру міжтрубного простору), кількість трубок – n. Для перевірочного розрахунку - параметри теплоносіїв на виході з апарату: вихідна температура нагріваючього теплоносію - t₁₂, вихідна температура нагріваємого теплоносію - t₂₂. Таким чином число степенів свободи при конструктивному розрахунку більше ніж при перевірочному.

Проектування оптимального теплообмінника полягає у тім що, треба визначити та­кі конструктивні параметри, які забезпечать найбільше (найменше) значення кри­те­рію ефективності.

Визначення оптимального режиму теплообмінника полягає у тому, що треба ви­зна­чити такі параметри теплоносіїв, які забезпечать найбільше (найменше) значення кри­терію ефективності для теплообмінника заданої конструкції.

 

3.3 Вибір критерію ефективності та оптимізуємих параметрів

 

Техніко-економічними критеріями ефективності функціонування теплообмін­ни­ків можуть бути: ККД, ексергетичний ККД, капітальні, експлуатаційні, приведені ви­тра­ти, приведений дохід та прибуток. Скористуємося річними приведеними витра­та­ми, як більш універсальним показником.

Приведені витрати на створення та експлуатацію теплообмінного апарату:

П=(Е_н+Е_ам)К+Е, (6)

де Е_н - нормативний коефіцієнт ефективності капітальних вкладень, 1/рік;

Е_ам - норма відрахувань на амортизацію та поточний ремонт, 1/рік;

Е - річні експлуатаційні витрати, грн/рік;

К - капітальні вкладення, грн. Для їх визначення можна скористатися даними наведеними в [8] з деякими поправками на діючі ціни.

Як оптимізуємі змінні виберемо швидкості гріючого та нагріваємого теплоносіїв. Від швидкостей, використовуючи рівняння нерозривності, можна перейти до інших параметрів: діаметру та міжтрубного простору.

3.4 Аналіз наявності оптимальних рішень

 

Фіксоване значення теплового потоку Q при незмінному температурному напорі між середовищами Dt (відповідно до закону Ньютона-Ріхмана) може досягатися при різ­номанітних значеннях коефіцієнта теплопередачі k і поверхні теплообмінника F, що відповідають умові k=Q/Dt, причому з підвищенням швидкостей w₁і (або) w₂теп­ло­но­сіїв росте значення k і, як слід, зменшується F. При цьому зменшуються капітальні ви­трати на поверхню теп­ло­об­міну За (вартість теплообмінника і щорічні аморти­за­ційні від­рахування). Проте підвищення швидкостей приведе до зростання гідравліч­но­го опо­ру і по­тре­бує великих річних витрат електро­енергії на перекачування тепло­но­сіїв Е (при­від насосів). Залежність амортизаційних відрахувань від швид­кос­ті не­лі­ній­на і ви­ра­жається через критеріальне рівняння теплопередачі (орієнтовно обер­­нено про­пор­цій­но швидкості в степіні при­б­лиз­но 0,8). Залежність річних витрат на електро­енергію від швидкості також нелінійна (орієнтовно прямо пропорційна швид­­кості в сте­піні 2). В результаті функція річних приведених витрат буде мати екс­т­ре­мум (мі­ні­мум) при де­яких значеннях швидкості гріючого і нагріваємого тепло­но­сі­їв (мал. 2).

 

Мал. 2. Залежність річних приведених витрат від швидкості води

Визначення конструктивних характеристик теплообмінника, що відповідають цим значенням швидкостей, є метою оптимального проектування теплообміного апа­ра­ту.

 

3.5 Спрощена інтегральна математична модель

Для усіх варіантів оптимізації приймаємо типові значення параметрів:

- число годин роботи теплообмінника за рік t = 7000 год/рік;

- питома вартість теплообмінника зі сталевих труб С_f= 1000 грн/м²;

- теплопровідність труб зі сталі l_ст = 48 Вт/м К;

- ціна електроенергії Се = 25 коп / кВт год;

- ККД насосів h_н= 0,85;

- коефіцієнти місцевих опорів x₁ = 5, x₂ = 4;

- довжина трубок однієї секції L =2 м.

Інтегральна детермінована математична модель протиточного водо-водяного теп­ло­­обмінного апарату є системою рівнянь:

, (7)

до якої додаються ще такі рівняння:

- коефіцієнт теплопередачі:

;

- коефіцієнти тепловіддачі:

a₁ =Nu₁ l₁/ d_вн ;

де Nu = 0,021 Re₁^{0. 8} Pr₁^{0. 43}(Pr₁/Pr_ст)^0.25;Re₁=d_вн w₁/n₁;

a₂ =Nu₂ l₂/d_экв ;

де Nu₂=0,021 Re₂ ^0.8Pr ₂ ^0.43 (Pr₂/Pr_ст)^0.25; Re₂=d_эквw₂ /n₂;

- площі поверхні теплообмінника:

F = L d_cp p ;

d=0,5(d_нар - d_вн); d_cp=0.5(d_вн+d_нар);

- середній логарифмічний температурний напір для противотоку:

;

- коефіцієнти в’язкого тертя при русі теплоносіїв у трубі і міжтрубному просторі:

; ;

- рівняння теплофізичних властивостей теплоносіїв.

Для визначення теплофізичних властивостей теплоносіїв рекомендується ко­ристу­ватися методичними вказівками [9], апроксимувати табличні значення [6] за до­по­мо­гою програми APPROX або знайти формули у довідковій літературі [2, 8].

Змінна потужності приводних двигунів перекачуючих насосів:

; ;

; .

Змінна частина річних амортизаційних витрат:

З_ам= (Е_н+Е_ам) С_f F,

де Е_н = 0.12 - коефіцієнт ефективності капітальних витрат.

Змінна частина єксплуатаційних річних витрат на електроенергію:

Е=С_э(DN₁+DN₂)t

Змінна частина річних приведених витрат (критерій оптимізації):

П =З_ам + Е;

Таким чином, задача формулюється в такий спосіб: знайти такі значення швид­кос­тей w₁ і w₂ при яких річні приведені витрати П мінімальні з урахуванням обмежень (7).

У такій постановці задача належить до задач умовної нелінійної оптимізації. Для ура­хування обмежень скористаємося методом штрафних функцій і перетворимо обме­жен­ня до канонічної форми:

(8)

Запишемо штрафну функцію у формі:

 

(Е_ам+Е_н)С_f F+

+C_ш, (9)

де С_ш – штрафний коефіцієнт (достатньо велике число).

Отже таку функцію треба дослідити на екстремум.

 

3.6 Вибір методу пошуку оптимуму

Оптимальне (за швидкістю первинного і вторинного теплоносіїв) проектування сек­цій­ного водо-водяного теплообмінника можна здійснити за допомогою алгоритму Га­ус­са-Зейделя (координатного спускe) за критерієм "приведені витрати", що враховує вар­тість витрачаємої за рік електроенергії і річні амортізаційні витрати. Більш де­таль­ний аналіз застосування чисельних методів пошуку екстремумів можна знайти у [5, 7, 10].

Перед проведенням оптимального проектування варто задатися значенням швид­кості з інтервалу 1...3 м/с і виконати однократний проектний розрахунок "вруч­ну" за обраним алгоритмом для перевірки правильності роботи алгоритму.

Розглянемо алгоритм пошуку мінімуму богатомірної функції F(x₁, x₂, ... , x_n). По­кла­демо, що відома прямокутня область на площині (x₁, x₂, ... , x_n) де функція має оп­тимум.

Алгоритм покоординатного спірального спуску полягає у зведенні багатомірной задачі оптимізіції до послідовності рішення одномірних задач [4].

Крок 1: Задаємося координатами початкової точки (x₁°, x₂°, ... , x_n°) і об­чи­с­лю­ємо значення функції в неї: F(x₁°, x₂°, ... , x_n°).

Крок 2: Задаємося початковим приростом по кожній змінній:

(Dx₁, Dx₂, ... , Dx_n).

Крок 3: Зафіксуємо будь-які (n-1) координат

Крок 4: По незафіксованій однієй координаті робими крок на величину Dx , і зна­хо­димо, координату нової точки (x₁°+ Dx₁, x₂°, ... ,x_n°) і обчислюємо значення функції в цій новій точці F(x₁°+ Dx₁, x₂°, ... , x_n°).

Крок 5: Порівнюємо значення F (x₁°+ Dx₁, x₂°, ... , x_n°) і F (x₁°, x₂°, ... , x_n°).

Якщо F (x₁°+ Dx₁, x₂°, ... , x_n°) < F ( x₁°, x₂°, ... , x_n°),то це вдалий крок і мож­на по вибраній координаті робити ще кроки доки буде виконуватися ця умова.

Якщо F (x₁°+ Dx₁, x₂°, ... , x_n°)> F (x₁°+ Dx₁, x₂°,... , x_n°), то крок не вдалий і варто перейти до іншої координати, і повернутися до кроку 4.

Якщо всі координати вичерпані і чергові кроки не дають змешення функції, то треба зменшити величину кроку Dx (наприклад у 5 разів) і змінити їх знаки на про­ти­лежні: (Dx₁, Dx₂ ,... , Dx_n)/(-5).

 

 

Крок 6: Перевірити на досягнення оп­ти­муму: якщо різниця абсолютних значень фун­к­цій на даному кроку і попередньому не пе­ре­ви­щує задану малу величину, то процес по­шу­ку оптимуму закінчений; якщо перевищує її, то перейти до кроку 3.

Геометрична інтерпритація цього про­це­су для функції двох змінних наведена на мал. 3.

 

 

Мал. 3. - Пошук оптимуму функції двох змінних методом покоординатного спуску

На основі цього алгоритму складена модіфікована програма оптимізації, відома як “два кроки” [11]. Нижче подане рішення задачі оптимізації теплообмінника за допо­мо­гою прикладного пакета МathСad [11, 12].

3.7 Програмна реалізація математичної моделі та її оптимізація

Задача оптимізації у прикладному пакеті МathСad для кращого розуміння вирі­шена спрощеним способом: досліджується на екстремум не штрафна функція (9), а річ­ні приведені витрати (6). Увесь алгоритм складається з двох основних частин: пер­ша - тепло-гідравлічний розрахунок теплообмінника та розрахунок крітерія ефектив­нос­ті, друга - його мінімізація. Перший розрахунок має за мету ув’язати крітерій ефек­тив­ності із оптимізуємими параметрами. Другий розрахунок ваконаний двома спосо­ба­ми: аналітичне рішення системи діференційних рівнянь у часткових похідних і чи­сель­ним методом координатного спуску “два кроки”. Обидва методи суп­ро­вод­жу­ють­ся ілюстраціями та графіками поведінки оптимізуємої функції. Усі розра­хунки з ко­мен­тарами. Ціна електроенергії та вартість 1 м² площі теплообмінника – приблизні (ді­ю­чі на 2004 р.).

У програмі застосовані деякі оператори і функції МathСad:

Given… Find - операторні дужки “дано-знайти”;

Pspline(…) - оператор лінійної інтерполяції сплайнами;

Interp(…) - оператор згладжування і регресії;

If…otherwise - оператор умов “якщо-у іншому випадку”;

Root (…) - оператор знаходження кореня виразу у дужках.

Для апроксимації властивостей теплоносіїв застосовані засоби, які надає МathСad - інтерполяція залежностей лінійними, квадратичними та кубічними полі­но­ма­­ми.

Більш докладно про роботу у прикладному пакеті MathCad дивіться в [11,12].

 

 

4 Контрольні питання

 

1. Що таке математична модель ?

2. У чому полягає процес оптимізації ?

3. Які основні рівняння складають математичну модель ?

4. Чим відрізняються діференційна та інтегральна математичні моделі ?

5. Поясніть поняття статичних, стохастичних, дінамічних та детермінованих мо­де­лей.

6. Надайте характеристику Вашої математичної моделі.

7. Які характеристики визначаються при оптимальному проектуванні установок?

8. За яким критерієм здійснюється оптимізація в лабораторній роботі?

9. За якими змінними здійснюється оптимізація в лабораторній роботі ?

10. Які обмеження накладаються на змінні, що оптимізуються ?

11. Поясніть характер залежностей крітерію оптимізації від оптимізуємих змін­них.

12. У чому полягає метод оптимізації Гаусса-Зейделя ?

13. Які ще методи оптимізації крім Гаусса-Зейделя можна запропонувати і зас­то­сувати ?

14. Які величини повинні бути відомі до початку розрахунків з оптимізації ?

 

5 Література

1. Методические указания по курсу "Моделирование и оптимизация тепло­енер­ге­тических систем" (в 4-х частях). /Г. С. Сапрыкин, В. М. Житаренко.- Ма­ри­уполь: ЖдМИ, 1989.

2. Справочник по теплообменникам. В 2-х томах. -М.: Энергоатомиздат, 1987.

3. Теплоиспользующие установки промышленных предприятий /Под ред. Иль­чен­ко О. Т. – Х.: Высшая школа, 1985. - 85 с.

4. Мудров А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Пас­каль. - Томск, “Раско”, 1991.

5. Попырин Л. С. Математическое моделирование и оптимизация теплоенер­ге­ти­чес­ких установок.- М.: Энергия, 1978.

6. Александров А. А. Теплофизические свойства води и водяного пара. - М.: Энер­­го­атом­издат, 1984.

7. Бояринов А. И. Кафаров В. В. Методы оптимизации в химической технологии. - М.: Химия, 1969.

8. Бажан П. И. Справочник по теплообменным аппаратам. - М.: Маши­но­стро­е­ние, 1989. – 200 с.

9. Методичні вказівки до лабораторної роботи “Моделювання теплофізичних влас­­ти­востей води, водяної пари та продуктів згоряння на ЕОМ”. / Житаренко В. М. - Маріуполь, ПГТУ. - 1999.

10. Химмельблау Д. Прикладное нелинейне программирование..- М.: Мир, 1975.-534 с.

11. Очков В. Ф. MathCAD 8.0 Pro для студентов и инженеров. - М.: Ком­пь­ю­терПресс, 1999. – 384 с.

12. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MathCAD 7.0 в математике, физике и в Internet. – М.: Нолидж, 1998. - 352 с.

 

Додаткова література

 

13. Андрющенко А. И. Термодинамические расчеты оптимальных параметров в теп­­ло­вых электростанциях. – М.: Высшая школа, 1963. - 298 с.

14. Макаревич В.В., Стерман Л. С. Экономическая эффективность тепло­фи­ка­ции при работе отопительных ТЭЦ в базовом и маневренном режимах. // Тепло­энер­ге­тика. – 1986. - № 3. - с. 65-67.

15. Методичні вказівки до лабораторної роботи “Рішення задач лінійного про­гра­мування” / Житаренко В. М. - Маріуполь, ПГТУ. – 1999.

16. Кафаров В. В., Мешалкин В. П., Гурьева Л. В. Оптимизация теплообменных процессов и систем. - М.: Энергоатомиздат, 1988. – 192 с.

17. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1988. - 128 с.: ил.

18. Сухарев А. Г., Тимохов Ю. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. - М.: Наука, 1986. - 328 с.

19. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. - М.: Наука, 1967. - 268 с. : ил.

20. Вульман Ф. А., Хорьков Н. С. Тепловые расчеты на ЭВМ тепло­энер­гети­чес­ких установок. - М.: Энергия, 1975. - 200 с.