Гаусс әдіс пайдаланып сызықтық теңдеу жүйесін шешу.

Процедура біртекті емес n белгісізі бар n сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шығарады

a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+ . . .+a_1n x_n=a_1n+1

a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+ . . .+a_2n x_n=a_2n+1

. . . .

a_n1 x₁+a_n2 x₂+ . . .+a_nn x_n=a_nn+1

Бастапқыда нольден айрықша x₁ коэффициентті анықтаймыз. Сәйкес келетін теңдеуді біріншісімен алмастырамыз (егер керек болса). нольден айрықша a₁₁жүйесін аламыз. Осы теңдеудің барлық коэффиценттерін a₁₁бөліп, келесіні аламыз:

x₁+b₁₂ x₂+ . . .+b_1n x_n=b_1n+1

Осы теңдеу көмегімен берліген теңдеуден x₁алып тастаймыз.

a⁽¹⁾₂₂ x₂+a⁽¹⁾₂₃ x₃+ . . .+a⁽¹⁾_2n x_n=a⁽¹⁾_2n+1

. . . .

a⁽¹⁾_n2 x₂+a⁽¹⁾_n3 x₃+ . . .+a⁽¹⁾_nn x_n=a⁽¹⁾_nn+1

мұнда

a⁽¹⁾_{i j}=a_{i j}-a_{i 1}b_{1 j}, i,j= 2...n

Алынған жүйе n-1 теңдеуден тұрады. Сипатталған процедураны осы жүйеге қолданамыз. Операцияны керекті сан ретінде қайталаймыз, жүйені үшбұрышты түрге келтіргенше.

x₁+с₁₂ x₂+ . . .+с_1n x_n=с_1n+1

x₂+ . . .+c_2n x_n=c_2n+1

. . . .

x_n=c_nn+1

Енді x_n,x_n-1, . . ., x₁. анықтау жеңіл.

Мысалы:

Шешу жолы:

Гаусс әдіс пайдаланып сызықтық теңдеу жүйесін MS Excel арқылы шешу болады.

Түзу жолы

теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I	0,68	0,05	-0,11	0,08	2,15
II	0,21	-0,13	0,27	-0,8	0,44
III	-0,11	-0,84	0,28	0,06	-0,83
IV	-0,08	0,15	-0,5	-0,12	1,16

1 қадам
барлық теңдеулердің х1 коэффициенттерін бірлікке келтірледі

теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II		-0,61905	1,285714	-3,80952	2,095238095
III		7,636364	-2,54545	-0,54545	7,545454545
IV		-1,875	6,25	1,5	-14,5

2 қадам
2,3,4 теңдеулердің х1 айнымалылары жойылады

теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II		0,692577	-1,44748	3,927171	1,066526611
III		-7,56283	2,38369	0,663102	-4,38368984
IV		1,948529	-6,41176	-1,38235	17,66176471

3 қадам
2,3,4 теңдеулердің х2 коэффициенттерін бірлікке келтірледі

теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II			-2,08999	5,670374	1,539939333
III			-0,31518	-0,08768	0,579635849
IV			-3,29057	-0,70943	9,064150943

4 қадам
3,4 теңдеулердің х2 айнымалысы жойылады

теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II			-2,08999	5,670374	1,539939333
III			-1,77481	5,758053	0,960303483
IV			1,200576	6,379808	-7,52421161

5 қадам
3,4 теңдеулердің х3 коэффициенттерін бірлікке келтірледі

теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II			-2,08999	5,670374	1,539939333
III				-3,24433	-0,54107544
IV				5,313955	-6,26716732

6 қадам
4 теңдеуден х3 коэффициенті жойылады

теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II			-2,08999	5,670374	1,539939333
III				-3,24433	-0,54107544
IV				-8,55829	5,726091884

Кері жолы
біртіндеп айнымалыларды табылады

х4 =	5,726092	=	-0,66907
-8,55829

x3 = -0,541075 + 3,24433x4
x3 = -2,711

x2=1,5399-5,6703x3+2,0899x2
x2 = -0,334

x1 = 3,1617 - 0,1176x4 + 0,1617x3 - 0,0735x2
x1 = 2,826

Жауабы: 2,826; -0,334; -2,711; -0,669

Тапсырмалар:

1. Итерация әдісін пайдаланып сызықтық теңдеуді шешу. ( ε =0,001)

Бұл әдісті қолдану үшін бастапқы теңдеу жүйесін келесі түрде жазылады.

X=f(x)

Түбірдің бастапқы жуық шамасы х=c₀ белгісін, оны алдағы теңдеудің оң бөлігіне қойсақ

С₁=f(c₀)

Түбірдің жаңа мәнін х=f(x) қоямыз, сонда С_n+1=f(C_n), n=1,2; егер екі тізбектелген итерация қорытындысы жақын болса: ⌡С_n+1-C_n⌡ < ε , онда итерациялық процесс тоқталады. Қарапайым итерациялық әдістің негізгі шартына │f(C_n)│<1 сәйкес келсе жеткілікті.

Шешу жолы:

1 итерация:

х1 = х2 = х3 = х4 = 0 болған жағдайда теңдеу жүйесінің шешімі бос мүшелеріне тең болады.

2 итерация:

Берілген теіңдеулерге 1 итерациядағы шешімдері койылады, оның шешімдерін келесі итерацияларға пайдаланады.

Бұл жалғасып кетебереді келесі шарт орындалғанша:

|x* - x^k| <= ε

k	x1	x2	x3	x4
	2,15	-0,83	1,16	0,44
	2,9719	-1,0775	1,5093	-0,4326
	2,3555	-1,0721	1,5075	-0,7317
	3,5017	-1,0106	1,5015	-0,8111
	3,5511	-0,9277	1,4944	-0,8321
	3,5637	-0,9563	1,4834	-0,8298
	3,5678	-0,9566	1,489	-0,8332
	3,57	-0,9575	1,4889	-0,8356
	3,5709	-0,9573	1,489	-0,8362
	3,5712	-0,9571	1,4889	-0,8364
	3,5713	-0,957	1,489	-0,8364