Пусть функция определена в области и удовлетворяет в ней следующим условиям.
1. , т.е. несобственный интеграл сходится.
2. Функция имеет конечное число максимумов и минимумов в любом конечном промежутке области .
3. В любом таком промежутке функция имеет конечное число конечных разрывов и не имеет бесконечных.
Перечисленные условия являются достаточными для того, чтобы при имели место формулы [2]
, (2.1)
. (2.2)
В точках разрыва функции последний интеграл принимает значения .
Функция называется трансформантой Ханкеля функции . Вторая формула называется формулой обращения. Формулы (2.1) и (2.2) определяют соответственно прямое и обратное преобразование Ханкеля.
В дальнейшем нам потребуется следующие два свойства преобразования Ханкеля.
Свойство (2.1)
. (2.3)
Свойство(2.2)
. (2.4)
Эти свойства могут быть доказаны в предположении, что и при являются величинами порядка , а при ограничены, т.е. являются величинами порядка и, кроме того, при доказательстве второго свойства.
Доказательство свойства (2.1) Применим дважды правило интегрирования по частям к интегралу
.
Интеграл в левой части соотношения (2.3) запишем в иной форме:
.
В выражении в фигурных скобках перейдем к переменной . В этом случае
.
Следовательно,
на основании (1.7).
Поэтому рассматриваемый интеграл согласно (2.1) равен
.
Первое свойство доказано.
Доказательство свойства (2.2) Также основано на применение к интегралу в соотношении (2.4) правила интегрирования по частям.
В процессе доказательства необходимо перейти к переменной в подынтегральном выражении и воспользоваться рекуррентными соотношениями (1.8) и (1.9).
Отметим важные для дальнейшего частные случаи свойств (2.1) и (2.2). Положив в соотношении (2.3) , получим
. (2.5)
В соотношении (2.4) положим . Тогда будем иметь
. (2.6)