Цель: научиться решать неравенства методом интервалов.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».
Средства обучения:
- методические рекомендации к практической работе № 28.
Виды самостоятельной работы:
- решение целых рациональных неравенств;
- решение дробно-рациональных неравенств;
- решение иррациональных, логарифмических неравенств методом интервалов.
Краткая теоретическая справка
Метод интервалов широко используется при решении квадратных неравенств, рациональных, дробно-рациональных, а также иррациональных, логарифмических.
Рациональным неравенством называется неравенство вида P(x) > 0 или P(x) < 0, а так же Q(x)P(x) 0 или Q(x)P(x)<0, где P(x) и Q(x) многочлены, которые можно представить в виде произведения линейных множителей.
Алгоритм применения метода интервалов:
1. Разложить многочлены P(x) и Q(x) на линейные множители. Количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителя x всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной x должны быть положительными (канонический вид). Если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, нечетное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный. Но если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.
2. Найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось. Найти все корни - значит решить уравнения P(x) = 0 и Q(x) = 0. Отметить на числовой оси корни уравнений в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.
3. Определить знак неравенства справа от большего корня. Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого.
4. Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая четное или нечетное число раз встречается каждый корень.
5. Выписать ответы неравенства в виде интервалов.
Неравенства вида ; ; ; , где и - многочлены степеней n и m соответственно и , называются дробно-рациональными.
Дробно-рациональные неравенства решаются переходом к равносильным целым рациональным неравенства:
; ;
Алгоритм решения иррациональных неравенств методом интервалов
1. Рассмотрим иррациональную функцию; найдем область определения функции.
2. Вычислим нули функции.
3. На координатной прямой:
- отметим нули функции, принадлежащие области определения;
- определим знак функции на каждом промежутке.
4. С учетом знака неравенства выпишем ответ.
Практические задания для аудиторной работы
1. Решить рациональное неравенство:
а) ; б) .
2. Решить дробно-рациональное неравенство:
а) ; б) ; в) .
3. Решить иррациональное неравенство:
а) ; б) .
4. Решить логарифмическое неравенство: .
Практические задания для самостоятельной работы
Решить неравенства:
Вариант 1
а) ; б) ; в) .
Вариант 2
а) ; б) ; в) .
Вариант 3
а) ; б) ; в) .
Вариант 4
а) ; б) ; в) .
Требования к отчёту:
1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.
2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:
- порядковый номер и наименование практической работы;
- цель практической работы;
- ход выполнения работы;
- ответы на контрольные вопросы;
- вывод о выполненном задании.
Контрольные вопросы
1. Метод интервалов для решения рациональных неравенств.
2. Решение иррациональных неравенств методом интервалов.
Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.