Цель:научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности приближений, находить границы погрешностей; выполнять действия над приближенными числами с учетом и без учета границ погрешностей.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».
Средства обучения:
- методические рекомендации к практической работе № 4.
Виды самостоятельной работы:
- нахождение погрешности приближения;
- вычисление абсолютной и относительной погрешности приближения;
- нахождение границ погрешностей приближений;
- нахождение суммы, разности приближенных значений с учетом границ погрешностей;
- нахождение произведения, частного приближенных значений с учетом границ погрешностей;
- выполнение арифметический действий над приближенными значениями без учета границ погрешностей.
Краткая теоретическая справка
Если результат измерения или вычисления величины x с некоторой точностью равен , то называют приближенным значением (приближением) величины x.
Разность между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью приближения.
Модуль разности между точным и приближенным значениями величины называется абсолютной погрешностью приближения.
В случаях, когда неизвестно точное значение величины и из-за этого нельзя найти абсолютную погрешность приближения, указывают положительное число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. Это число называют границей абсолютной погрешности.
Если , то есть граница абсолютной погрешности.
Тогда ,т.е. истинное значение величины x заключается в пределах .
Для характеристики качества измерения используют понятие относительной погрешности. Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины называется относительной погрешностью приближения.
Любое положительное число, которое больше или равно относительной погрешности, называется границей относительной погрешности.
, где - граница относительной погрешности.
Если - граница абсолютной погрешности, то граница относительной погрешности равна
.
Если с точностью до , с точностью до , то с точностью до и с точностью до .
Если с относительной точностью до , с относительной точностью до , то с относительной точностью до и с относительной точностью до .
Если с относительной точностью до , то относительная точность приближенного равенства есть .
Граница относительной погрешности корня n-й степени в n раз меньше границы относительной погрешности подкоренного числа.
Если положительное число записано в виде , где , то говорят, что число записано в стандартном виде. Целое число k называют порядком данного числа.
Цифра какого-либо разряда в записи приближенного значения называется верной, если граница абсолютной погрешности приближения не превышает единицы этого разряда.
Цифра в записи приближенного значения называется строго верной, если его абсолютная погрешность не превышает половины единицы разряда, в котором записана эта цифра.
Значащими цифрами называются все верные цифры в записи приближенного значения, кроме нулей, стоящих перед первой отличной от нуля цифрой.
При вычислениях, когда не учитывается погрешность каждого промежуточного результата, рекомендуется пользоваться следующими правилами подсчета верных цифр:
1) в сумме и разности приближенных значений, в записи которых все цифры верные, оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет приближенное значение с наименьшим числом десятичных знаков;
2) в произведении и частном приближенных значений оставляют столько цифр, не считая нулей, стоящих впереди, сколько значащих цифр имеет приближенное значение с меньшим числом значащих цифр;
3) в промежуточных результатах рекомендуется сохранить на 1-2 цифры больше, чем указано в правилах 1 и 2. В конечном результате последние цифры надо округлить.
Практические задания для аудиторной работы
1. Найти погрешность, абсолютную и относительную погрешность приближенного значения величины .
2. Определить точность приближенного равенства .
3. Определить относительную точность приближенного равенства .
1.,2. а) ; ; б) ; .
3. а) ; ; б) ; .
4. Найти периметр , если , , .
5. Вычислить чему равна площадь прямоугольника шириной м и длиной м.
6. Вычислить периметр четырехугольника , если , , , .
Практические задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1.,2. а) ; ; б) ; .
3. а) ; ; б) ; .
4. Найти разность , если с точностью до 1%, с точностью до 2%.
5. Вычислить , если и с точностью до 1%.
6. Найти произведение чисел и .
Вариант 2
1.,2. а); ; б) ; .
3. а) ; ; б) ; .
4. Найти периметр прямоугольника , если , .
5. Вычислить площадь ромба , если его диагонали равны см, см.
6. Вычислить периметр , если , , .
Вариант 3
1.,2. а) ; ; б) ; .
3. а) ; ; б) ; .
4. Найти разность , если с точностью до 0,1%, с точностью до 1%.
5. Вычислить чему равна площадь прямоугольника шириной м и длиной м.
6. Найти произведение чисел и .
Вариант 4
1.,2. а) ; ; б) ; .
3. а) ; ; б) ; .
4. Найти периметр прямоугольника , если , .
5. Вычислить площадь ромба , если его диагонали равны см, см.
6. Вычислить периметр , если , , .
Требования к отчёту:
1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.
2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:
- порядковый номер и наименование практической работы;
- цель практической работы;
- ход выполнения работы;
- ответы на контрольные вопросы;
- вывод о выполненном задании.
Контрольные вопросы
1. Что называют погрешностью приближения?
2. Что такое абсолютная погрешность приближения?
3. Какую погрешность называют относительной?
4. Что называют границами абсолютной и относительной погрешностей?
5. Какая существует связь между абсолютной и относительной погрешностями?
6. Чему равна погрешность суммы и разности приближенных значений?
7. Как вычислить погрешность произведения и частного приближенных значений?
8. Что такое верные и строго верные числа в записи приближенных значений?
9. Какие цифры в записи приближенного значения называют значащими?
10. Какими правилами пользуются при вычислениях без учета границ погрешностей?
Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.