Базовые элементы формальных моделей и их описание

Учебные элементы параграфа:

 

1. Физическая величина.

2. Типы фазовых переменных.

3. Базовый элемент.

4. Компонентное уравнение базового элемента.

5. Топологические уравнения.

6. Эквивалентная схема макро модели.

7. Процедура получения макро модели.

Использование ММ объекта в форме дифференциальных уравнений в частных производных возможно только для очень простых технических систем. Поэтому при моделировании на макро уровне в технической системе выделяются достаточно крупные элементы, которые в дальнейшем рассматриваются как неделимое целое. Непрерывной независимой переменной остаётся (в сравнении с моделированием на микро уровне) только время. Математической моделью системы на макро уровне будет система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Поведение большинства технических подсистем можно охарактеризовать с помощью фазовых переменных.

Фазовая переменная — величина, характеризующая физическое или информационное состояние моделируемого объекта.

Целесообразно вспомнить понятие величины (физической величины), через которое определяется фазовая переменная (ФП).

Величина (физическая величина) — характеристика объектов или явлений материального мира, качественно общая множеству объектов или явлений, но количественно индивидуальное для каждого из них.

Физическая величина представляет собой либо обобщённое понятие (длина, масса, площадь и т.п.), либо индивидуальную характеристику конкретного объекта (сопротивление резистора R=5 МОм, ёмкость конденсатора С=5 мF).

Значение конкретной физической величины (её количественное выражение) — представление о конкретной физической величине в виде некоторого числа принятых для неё единиц.

X = { X } [ X ](2.1)

где: X— значение конкретной физической величины;

{ X } —числовое значение (отвлеченное число);

[ X ] — единица физической величины.

В отличие от ФП параметр — это величина, характеризующая некоторое свойство объекта или режим его функционирования. Технологические объекты управления, как правило, состоят из нескольких подсистем различной природы, которые характеризуются двумя типами фазовых переменных: поток Iи потенциал U. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в ММ технической системы. Вид фазовой переменной зависит от физической природы системы (таблица 2.1).

 

Таблица 2.1

 

Физическая природа системы Потенциал Поток
Механическая поступательная Скорость - v м/с Сила - FН
Пневмогидравлическая Давление - P Па Расход - M кг/с
Тепловая Температура - T 0К Тепловой поток - QВТ
Электрическая Напряжение - U В Ток - I А

 

Законы функционирования элемента (компонента) подсистемы задаются компонентными уравнениями, связывающими, как правило, разнородные фазовые переменные, относящиеся к данному элементу, т.е. компонентные уравнения связывают переменные типа поток и потенциал. Для простых элементов электрической природы компонентные уравнения имеют следующий вид:

 

, (2.2)

 

где: а — параметр элемента;

I — фазовая переменная типа поток;

U —фазовая переменная типа потенциал.

Для сложных объектов компонентные уравнения можно записать в виде:

 

(2.3)

 

где: V = (U,W)— вектор фазовых переменных;

U— под вектор фазовых переменных, характеризующих запасы энергии в элементах объекта;

t —время;

W— вектор остальных фазовых переменных.

Компонентные уравнения могут быть линейными и нелинейными, алгебраическими, ОДУ или интегральными. Они получаются на основе знаний о конкретной предметной области. Для большинства элементов технических систем компонентные уравнения изучались в прикладных дисциплинах.

Компоненты уравнения получают либо теоретически, либо физическим тестированием, либо математическим моделированием на микро уровне.

Важно помнить, что между подсистемами различной физической природы существует аналогия.

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших (базовых, типовых) пассивных элементов:

1) элемент рассеивания (диссипации) энергии, где происходит преобразование любой энергии в тепловую. Это элемент типа R — сопротивление для электрической подсистемы.

2) элемент накопления энергии типа “ёмкость” — С (накопление кинетической энергии).

3) элемент накопления энергии типа “упругость” — L (накопление потенциальной энергии).

Так для электрической системы фазовыми переменными являются: типа поток — ток І [А, Кл / с]; типа потенциал — напряжение U [В].

Компонентные уравнения простейших элементов:

 

1) уравнение для элемента сопротивление: , (2.5)

 

где: R — электрическое сопротивление, [Ом];

g — проводимость.

2) уравнение для элемента ёмкость: , (2.6)

 

где: С— электрическая ёмкость, [Ф].

3) уравнение для элемента индуктивность: , (2.7)

 

где: L— электрическая индуктивность, [Гн].

Для механической поступательной системы фазовые переменные: типа поток — сила F, H, типа потенциал — скорость V , м / с.

Компонентные уравнения типовых элементов:

1. , где: ; — коэффициент вязкого трения.

2. , m — масса в кг — аналог электрической ёмкости.

3. Уравнение пружины F = k · x, где: x— перемещения, k — жесткость пружины:

; ,

где: — аналог электрической индуктивности.

Кроме пассивных выделяют активные базовые элементы - источники

Более подробно фазовые переменные и компонентные уравнения простых элементов этих систем (кроме механической упругой) приведены в литературе. [Системы автоматизированного проектирования в 9-ти кн. Кн. 4. Математические модели технических объектов: Учебное пособие для втузов/ В.А. Трудоношин, Н.В Пивоварова; под ред. И.П. Норенкова. – М.: Высш. шк. ,1986.]

 

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

1. Как определяется физическая величина?

2. Какие типы фазовых переменных используют при создании макро модели?

3. Каким образом задаётся закон функционирования элемента (компонента)?

4. Как можно получить компонентное уравнение?

 

 

§2.2.2. Описание связей между элементами одной природы

Учебные элементы параграфа:

 

  1. Виды топологических уравнений.
  2. Аналогия компонентных и топологических уравнений.
  3. Критическая протяженность объекта.
  4. Источники потока субстанции и их виды.
  5. Графическое обозначение базовых элементов.

 

 

Связь между однородными фазовыми переменными, относящимися к разным элементам подсистемы, задаётся топологическими уравнениями, полученными на основании сведений о структуре подсистемы.

Топологические уравнения — уравнения, связывающие однотипные фазовые переменные различных элементов объекта и отражающие топологию взаимосвязей его элементов. Общий вид топологических уравнений (ТУ):

 

F2 (V) = 0 (2.8)

ТУ выражают действие законов сохранения субстанции (вещество, энергия, количество движения), условия равновесия сил, неразрывности потоков и т.д.

Рассмотрим топологические уравнения для электрической подсистемы.

Уравнение равновесия (Первый закон Кирхгофа):

 

(2.9)

 

где: Ik —ток k-той ветви;

р — множество номеров ветвей инцидентных (прилегающих) к этому узлу.

Уравнение непрерывности (Второй закон Кирхгофа):

 

(2.10)

 

где: j — номер ветви;

q — множество номеров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Топологические уравнения строго справедливы для установившихся режимов, но их можно применять и в тех случаях, когда временем распространения возбуждения по линиям связи можно пренебречь.

Время распространения возбуждения зависит от физической природы подсистемы, т.е. от скорости распространения возмущений в соответствующей среде и размеров этой среды в конкретном объекте. Под возбуждением понимается изменение фазовых переменных.

Критической длиной кр называют приближенный предельный размер среды, при превышении которого необходимо учитывать время распространения возмущений. Оценить кр можно по формуле:

 

кр = Δt · υ,

 

где: υ— скорость распространения возбуждения в среде, например для электрической подсистемы это скорость света 3·108 м / с;

Δt — интервал времени, характеризующий временную точность рассмотрения процессов.

Если моделируется электрический объект в нано секундном диапазоне: Δt = 10 –9с, то критическая длина будет 0.3м.

Приведенные выше типовые элементы — линейные, однако, элементы подсистем могут быть и нелинейными, зависящими от режима работы.

Если к набору типовых линейных и нелинейных элементов добавить зависимые и независимые источники типа источник потока Iи источник потенциала Е, то получится база двухполюсников, на основе которых можно получать математические макромодели практически любых технических объектов. Различают источники двух типов: независимые и зависимые. Уравнения источников: E = f(Z), I= f(Z), где Z время, константа или фазовая переменная.

Независимые источники используются для моделирования постоянных воздействий на объект, например, сила тяжести, может быть отражена постоянным источником силы F= mg , const.

Зависимые источники делятся на две группы:

1) источники, зависимые от времени - E = f(t);

2) источники, зависимые от фазовых переменных Q= k ΔP0.5.

Источники первой группы используются для моделирования внешних воздействий на объект. Источники, зависимые от фазовых переменных используются для отражения нелинейных свойств объекта, а также для установления взаимосвязей между подсистемами различной природы.

Для изображения простых элементов используют условные графические обозначения (рис. 2.4).

 

Условные графические обозначения элементов:


а) б)

 

а) электрическая подсистема; б) механическая подсистема

 

Рис. 2.4 Условные обозначения типовых элементов

 

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

Какие типы топологических уравнений используют для создания макро модели?

Какие типы источников субстанции используют при построении макро модели?

Как представляются элементы макро модели графически?