Конспект лекцій з дисципліни Числовіметоди і моделювання на ЕОМ

Міністерство освіти та науки України

 

Одеський національний політехнічний університет

 

Кафедра автоматизації теплоенергетичних процесів

 

 

конспект лекцій з дисципліни

"Числовіметоди і моделювання на ЕОМ"

Частина 2

 

для студентів інституту енергетики і систем комп'ютерного управлиння

при підготовке бакалаврів

за напрямком 6 050202 – Автоматизація і комп'ютерно - інтегровані технології

 

 

Составил проф. Ю.К. Тодорцев

 

Одеса 2010

 

Раздел 1. Основы моделирования систем

Тема 1.1. Модели и моделирование

Моделирование — метод познания и этап всякой целенаправленной деятельности

Учебные элементы параграфа:

Объект

Методы изучения элементов систем автоматизированного управления.

Аналогия.

Моделирование.

Оригинал. Задача. Проблема.

Рис. 1.1. Схема ситуации моделирования

 

В этой схеме появляется ещё один компонент — задача.

Задача возникает тогда, когда для достижения цели есть несколько неочевидных путей и надо выбрать наилучший.

Попутно заметим, что совокупность задач образуют проблему (рис.1.2):

 

Рис. 1.2. Проблемы и задачи

 

 

Понятие модели является фундаментальным и его следует рассмотреть с системных позиций.

 

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

Дайте определение понятия объект.

Какими методами можно изучать автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУ ТП)?

В чём сущность и различие методов аналогии и моделирования?

Нарисуйте структуру ситуации моделирования?

Как соотносятся между собой задача и проблема?

При каких условиях оригинал можно заменить моделью?

Модель как многоместное отношение

Учебные элементы параграфа:

Историзм в развитии понятия модель.

Система

Отношениямежду элементами. Определение понятия модель.  

Классификация моделей

Учебные элементы параграфа:

1. Назначение моделей. Способ воплощения моделей.

2. Абстрактная модель. Вещественная модель.

3. Язык описания модели. Способ построения модели.

4. Подобие. Прямое подобие. Косвенное подобие. Условное подобие.

5. Текстовая модель. Графическая модель. Математическая модель.

6. Аналитическая модель. Экспериментальная модель. Пространственная модель.

7. Соответствие моделей оригиналу. Конечность моделей упрощенность, приближенность моделей.

8. Адекватность моделей. Истинность и ложность моделей. Оценка ситуации моделирования.

Целевая предназначенность моделей позволяет всё разнообразное множество моделей разделить на три основных типа по назначению: познавательные, прагматические, чувственные), для различных объектов (рис. 1.3).

 

 

Рис.1.3 Классификация моделей

Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединений новых знаний с уже имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встаёт задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели. Познавательная деятельность основана на приближении модели и реальности (рис. 1.4а).

Прагматические модели являются средством организации практических действий, средством управления, способом представления образцовых действий или их результата.

 

		б
	а

 

Рис. 1.4. Различия между познавательной (а) и прагматической моделью (б)

 

Использование прагматических моделей состоит в том, чтобы при обнаружении расхождений между моделью и реальностью направить усилия на изменения реальности так, чтобы приблизить реальность к модели

Примерами прагматических моделей могут служить планы, программы, экзаменационные требования, инструкции, руководства и т.д. (рис. 1.4б).

Чувственные модели служат для удовлетворения эстетических потребностей человека (произведение искусства).

Другим принципом классификации целей моделирования служит деление моделей на статические и динамические.

Статические модели отражают конкретное состояние объекта (моментальная фотография). Если нужно изучить различия между состояниями системы строят динамические модели.

Модели сознательно создаваемые субъектом (человеком) воплощаются из двух типов материалов годных для их построения — средства окружающего мира и средства самого сознания человека.

По этому признаку модели делятся на абстрактные (идеальные, мысленные, символические) и вещественные (материальные, реальные).

Абстрактные модели являются идеальными конструкциями, построенными средствами мышления. Их различают по языку описания и способу построения (рис.1.3).

По способу построения абстрактные модели делятся на аналитические (теоретические), формальные (экспериментальные) и комбинированные. Аналитические модели строятся по данным о внутренней структуре объекта и на основе физических законов, описывающих протекающие в нём процессы.

Формальные модели строятся по данным экспериментальных исследований, в процессе которых устанавливаются взаимосвязи между входными воздействиями и (выходными) параметрами состояния объекта.

Комбинированные модели используют принцип уточнения в эксперименте параметры структуры и закономерностей аналитической модели.

По типу языка описания символические модели разделяются на текстовые (словесные), графические (чертежи, схемы), математические и комбинированные.

Чтобы некоторая материальная конструкция могла быть отображением, т.е. замещала в каком-то отношении оригинал, между моделью и оригиналом должно быть установлено отношение подобия.

Будем различать три вида подобия: прямое, косвенное и условное (рис. 1.3).

Прямое подобие может быть пространственным (макеты судов, самолётов, манекены и т.д.) и физическим. Физическим подобием называют явления в геометрически подобных системах, у которых в процессе их функционирования отношения характеризующих их одноимённых физических величин в сходственных точках являются постоянной величиной (критерии подобия). Пример физической модели — испытание макета самолёта в аэродинамической трубе.

Второй тип подобия в отличие от прямого подобия называют косвенным. Косвенное подобие между оригиналом и моделью устанавливается не в результате их физического взаимодействия, а объективно существует в природе, обнаруживается в виде совпадения или достаточной близости их абстрактных моделей и после этого используются в практике реального моделирования. Примером косвенного подобия служит аналогии между физическими (фазовыми) переменными (табл. 1.1).

 

Таблица 1.1

Вид системы	Фазовые переменные
	Типа потока	Типа потенциала
Механическая поступательная	Сила, F	Скорость, u
Механическая вращательная	Момент, M	Угловая скорость, w
Механическая упругая	Сила, F	Деформация, s
Гидроаэромеханическая	Расход (поток),	Давление, P
Тепловая	Тепловой поток, Q	Температура, T
Электрическая	Ток, I	Напряжение, U

 

Закономерности механических, тепловых, электрических процессов описываются одинаковыми уравнениями: различие состоит лишь в разной физической интерпретации переменных входящих в уравнения.

В результате оказывается возможным не только заменить громоздкое экспериментирование с механической или тепловой системой, на простые опыты с электрической схемой (R, L, C - цепи) или электронной моделью (АВМ).

Роль моделей обладающих косвенным подобием оригинала, очень велика. Часы — аналог времени. Аналоговые и цифровые вычислительные моменты (материальный объект) позволяет найти решение любого дифференциального уравнения.

Третий особый класс реальных моделей образуют модели, подобие которых оригиналу не является ни прямым, ни косвенным, а устанавливается в результате соглашения. Такое подобие называют условным.

Примерами условного подобия служат деньги (модель стоимости), знаки дорожного движения (модель сообщения) и т.д.

С моделями условного подобия приходится иметь дело очень часто. Они являются способом материального воплощения абстрактных моделей, вещественной формой, в которой абстрактные модели могут передаваться от одного человека к другому, хранится до момента их использования, т.е. отчуждаться от сознания и всё-таки сохранять возможность возвращения в абстрактную форму. Это достигается с помощью соглашения о том, какое состояние реального объекта ставится в соответствие данному элементу абстрактной модели. Такое соглашение принимает вид совокупности правил построения моделей условного подобия и правил пользования ими.

Модель объекта можно охарактеризовать несколькими признаками (таблицы 1.2 и 1.3).

 

Таблица 1.2

Объект	Модель	Назначение	Способ воплощения	Язык описания
Корабль	Макет корабля	Познавательная	материальный
Электрическая цепь	I=U/R	Познавательная	абстрактный	математический
Бак с водой	Ty’ +y =kx решаемая на ПК	Познавательная	абстрактный	математический
Телевизор	Инструкция пользователя	Прагматическая	материальный	текстовый
Клапан	Чертеж для изготовления	Прагматическая	абстрактный	графический
Стоимость товара	Сумма оплаты купюрами	Прагматическая	материальный
Человек	Портрет	Чувственная	материальный

 

 

Объект	Модель	Вид подобия	Способ построения	Вид задачи
Корабль	Макет корабля	Прямое физическое	экспериментальный	динамическая
Электрическая цепь	I=U/R	косвенное	аналитический	статическая
Бак с водой	Ty’ +y =kx решаемая на ПК	косвенное	аналитический	динамическая
Телевизор	Инструкция пользователя
Клапан	Чертеж	косвенное
Стоимость товара	Сумма оплаты купюрами	условное
Человек	Портрет	прямое пространственное

 

Таблица 1.3

 

Таким образом, мы рассмотрели вопросы о том, что отображает модель, из чего и как она может быть построена, каковы внешние условия осуществления функций модели. Но важен и вопрос о ценности самого моделирования, т.е. отношение моделей с отображаемой ими реальностью: чем отличаются модели и моделируемые объекты или явления, в каком смысле, и до какой степени можно отождествлять модель с оригиналом.

Различают следующие главные отличия модели от оригинала: конечность, упрощенность и приближенность (адекватность).

Модель конечна, так как она отображает оригинал лишь в конечном числе отношений при ограниченном количестве ресурсов.

Модель всегда упрощенно отображает оригинал за счет конечности модели; отображение только главных существенных свойств и отношений; ограниченностью средств оперирования с моделью. Упрощённость характеризует качественные различия модели и оригинала.

Модель отображает оригинал приближённо. Этот аспект допускает количественную оценку различия (“больше - меньше”, “лучше - хуже”). С приближенностью модели связано понятие адекватность.

Модель с помощью, которой успешно достигается поставленная цель, называют адекватной этой цели.

Адекватность модели не гарантирует требования полноты, точности и истинности модели, но означает, что они выполняются в той мере, которая достаточна для достижения цели. Упрощение и приближённость модели необходимы, неизбежны, но замечательное свойство мира и нас самих состоит в том, что этого достаточно для человеческой практики.

Между моделью и оригиналом кроме различий есть сходства.

Сходство выражается, прежде всего, в истинности модели. Степень истинности модели выясняется только в её практическом соотношении с отображенной ею натурой. При этом изменение условий, в которых ведётся сравнение, весьма существенно влияет на результат: именно из-за этого возможно существование двух противоречивых, но “одинаково” истинных моделей одного объекта. Яркий пример этого – волновая и корпускулярная модели электрона.

Сходство модели и оригинала зависит от сочетания истинного и ложного типов модели. Кроме, безусловно, истинного содержания в модели имеется: 1) условно истинное (т.е. верное лишь при определенных условиях); 2) предположительно истинное (т.е. условно – истинное при неизвестных условиях), а следовательно, логичное. При этом в каждых конкретных условиях неизвестно точно, каково же фактическое соотношение истинного и ложного в данной модели. Ответ на этот вопрос только практика.

Однако в любом случае модель принципиально беднее оригинала, это ее фундаментальное свойство.

Завершая рассмотрение понятия “моделирование” следует подчеркнуть, что, собираясь создавать модель системы нужно иметь в виду следующую схему (рис. 1.5):

 

Рис.1.5. Оценка ситуации моделирования

 

Широкое распространение при исследовании технических систем получил метод математического моделирования, который рассмотрим более подробно.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

1. Какие признаки образуют семейство моделей по назначению?

2. Какие признаки образуют семейство моделей по способу воплощения?

3. Какие признаки образуют типы моделей по подобию?

4. Чем отличается прагматическая модель от познавательной модели?

5. На каких языках можно представлять модели?

6. Каковы виды прямого подобия материальных моделей?

7. Чем отличаются между собой вещественные модели косвенного и условного подобия?

8. Каковы признаки отличия модели и оригинала?

9. С помощью, каких вопросов можно оценить ситуацию моделирования?

 

§ 1.1. 4. Объекты моделирования и их классификация

 

Учебные элементы параграфа:

1. Признаки классификации объектов моделирования.

2. Тип, свойства и методы исследования объекта.

3. Непрерывные — дискретные объекты.

4. Стационарные — не стационарные объекты.

5. Сосредоточенные — распределённые объекты.

6. Одномерные, многомерные объекты.

7. Детерминированные — стохастические объекты.

8. Динамические — статические объекты.

9. Линейные, не линейные объекты.

10. Аналитические, идентифицируемые, комбинированные методы исследования.

11. Математическая модель.

12. Математическое моделирование.

13. Параметры и фазовые переменные модели.

14. Характеристики моделей (универсальность, точность, адекватность и экономичность).

15. Признаки классификации ММ:

16. Структурные — функциональные модели;

17. Полные — макромодели;

18. Аналитические — алгоритмические модели;

19. Формальные — не формальные модели;

20. Теоретические — эмпирические модели.

 

Прежде чем рассмотреть требования к математическим моделям и их разновидности, целесообразно становится на различиях объектов моделирования, которые можно классифицировать по следующим признакам: свойства объекта, тип задачи и метод исследования объекта (рис.1.6.).

 

		Объекты моделирования

 

Рис 1.6 Классификация объектов математического моделирования

 

Непрерывными считаются объекты, выходные переменные которых являются аналоговые физические величины. Большинство технологических процессов и аппаратов являются непрерывными.

Дискретные объекты имеют выходные переменные, которые могут принимать некоторое конечное число значений.

Свойства стационарности – не стационарности характеризуют степень изменчивости объекта во времени.

Свойства сосредоточенности – распределённости характеризует объектыс точки зрения роли, которую играет в их модельном описании пространственная протяжённость и конечная скорость распространения в пространстве физических процессов.

Если пространственной протяжённостью можно пренебречь и считать, что независимой переменной, характерной для объекта, является только время, то говоря

т об объекте с сосредоточенными параметрами.

В пространственно протяжённых объектах (газы, деформирующие тела) необходимо учитывать зависимость характеристик от координат.

Для всех реально существующих объектов присуще свойство стохастичности. Определение детерминированности означает лишь тот факт, что по условиям решаемой задачи и применительно к свойствам конкретного объекта случайные факторы можно не учитывать.

Понятие динамический объект отражает изменение параметров объекта во времени. Это происходит из-за конечной скорости накопления запасов вещества и энергии, аккумулируемых объектом.

В статическом объекте связь входных и выходных параметров не учитывает динамических эффектов.

Весьма существенно деление объектов на линейные и нелинейные. Различие между ними заключается в том, что для первых справедлив принцип суперпозиции (положения), когда каждый из выходов объекта характеризуется линейной зависимостью от соответствующих входных переменных.

Объекты с одним выходом называют одномерными, а с несколькими многомерными.

Деление методов исследования объектов моделирования на аналитические, которые основаны на ранее изученных и описанных в математической форме закономерностях объекта и идентифицируемые, которые строятся на основе специального экспериментального исследования, связано со степенью сложности объекта.

 

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

По каким признакам классифицируют объекты моделирования?

Чем отличаются детерминированные объекты от стохастических?

По каким признакам можно отличить динамический объект от статического?

Что характерно для непрерывного объекта моделирования?

Сколько методов исследования объектов применяется в практике специалистов по автоматизации?

 

Типовые процедуры исследования объектов АС ТП методом моделирования

 

Учебные элементы параграфа

2. Процедуры исследования систем управления методами математического моделирования. 3. Тип и вид процедур анализасистем управления. 4. Тип и вид процедур синтезасистем управления методами математического моделирования.

Основы методики математического моделирования.

1. Модель состава системы. 2. Модель структуры системы. 3. Модели типа чёрный и белый ящик.

Рис. 1.9 Этапы получения и применения аналитической математической модели

 

Таким образом, аналитические модели позволяют построить модели состава и модели структуры системы.

Модель состава ограничивается снизу тем, что считается элементом, а сверху границей системы. Как эта граница, так и границы разбиения на подсистемы определяются целями построения модели и, следовательно, не имеют абсолютного характера, поэтому существует многообразие моделей состава системы.

Модель структуры описывает существенные связи между элементами (компонентами модели состава).

Эмпирический метод построения математической модели основывается на понятии “чёрный ящик”, введённое У. Р. Эшби. “Чёрным ящиком” называют систему, внутреннее содержание которой наблюдателю неизвестно, а доступными ему являются только входы и выходы системы (1.10).

 

Рис. 1.10 Модель “чёрного ящика”

 

Эта на первый взгляд простая модель отражает два важных свойства системы: целостность и обособленность от среды.

Представление такой модели осуществляется несколькими способами.

Во многих случаях достаточно содержательного словесного описания входов и выходов; тогда модель “чёрного ящика” является просто их списком.

В других случаях строят количественное описание некоторых или всех входов и выходов. В этом случае тем или иным способом задаются два множества Xи Y, например, путём наблюдения за входами и выходами.

Простота модели “чёрного ящика” обманчива, потому что построение такой модели не является тривиальной задачей, так как на вопрос о том, сколько и какие именно входы и выходы следует включать в модель не всегда однозначны.

Главной причиной множественности входов и выходов в модели “чёрного ящика” , является то, что всякая реальная система, как и любой объект, взаимодействует с объектами окружающей среды неограниченным числом способов. При построении модели из бесчисленного множества входов, выходов, связей отбирается их конечное число. Критерием отбора при этом является целевое назначение модели, существенность той или иной связи по отношению к этой цели.

Именно здесь возможны ошибки. Тот факт, что из рассмотрения исключаются остальные связи, не лишает их реальности, и они всё равно действуют.

Нередко оказывается, что казавшееся несущественным или неизвестным при построении модели, на самом деле является важным и должно быть учтено.

Особое значение это имеет при задании цели системы, т.е. при определении её выходов. Это относится к описанию существующей системы по результатам её обследования, и к проекту пока ещё не существующеё системы.

Для решения этого противоречия главную цель сопровождают заданием дополнительных целей.

Важно подчеркнуть, что выполнение только основной цели не достаточно, что невыполнение дополнительных целей может сделать ненужным или даже вредным и опасным достижение основной цели. Этот момент заслуживает особого внимания, так как на практике часто обнаруживается незнание, непонимание или недооценка важности указанного положения.

Между тем оно является одним из центральных во всей системологии.

Модель “чёрного ящика” часто называется в ряде случаев единственно применимой при изучении систем в силу объективной невозможности попасть внутрь системы (исследование психики человека) без нарушения её целостности или при действительном отсутствии данных о внутреннем устройстве системы. Например, мы не знаем как “устроен электрон”, но известно, как он взаимодействует с электрическим и магнитными полями, с гравитационным полем. Это и есть описание электрона на уровне модели “чёрного ящика”.

 

Таким образом, при всём многообразии реальных систем принципиально различных типов моделей, очень немного: модель типа “чёрного ящика” , модель состава, модель структуры, а также их разумное сочетание и, прежде всего объединение всех трёх моделей, т.е. структурная схема системы (рис. 1.11).

 

Рис. 1.11 Типы моделей

 

Можно сказать, что структурная схема “белый ящик” получается как результат “суммирования” всех трёх типов моделей. Все указанные типы моделей являются формальными, относящимися к любым системам и, следовательно, не относящимися ни к одной конкретной системе. Чтобы получить модель определённой технической системы, нужно придать модели конкретное содержание. Процесс построения содержательных моделей является процессом интеллектуальным, творческим.

Вопросы:

1. Сколько этапов содержит процедура получения модели?

2. Что представляет собой полное математическое описание системы?

3. Как интерпретируются условия однозначности?

4. Чем отличаются начальные условия от граничных условий?

5. Чем отличается модель состава от модели структуры?

6. Почему приходится пользоваться моделью чёрный ящик? Какова его сущность?

 

Раздел 1

 

Тема 2 Математическое моделирование

Основные понятия математического моделирования

Учебные элементы:

1. Математическая модель

2. математическое моделирование

3. параметр

4. фазовая переменная

5. параметрическая схема

6. требования к качеству математической модели

 

Математическая модель (ММ) -это множество математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств, точек, отрезков переменных и т. д.), связанных определенным образом. Такая модель отражает некоторые свойства моделируемого объекта, интересующие пользователя.

Создание ММ и оперирование с ней для получения полезной информации об объекте называют математическим моделированием.

Среди свойств объекта, отражаемых ММ, различают свойства систем, элементов систем и внешней среды, в которой должен функционировать объект. Свойство – это существенный признак объекта, определяемый количественно, например, геометрические размеры, масса.

Количественное выражение свойств осуществляется с помощью величин, называемых параметрами. Различают выходные, внутренние и внешние (входные) параметры (рис. 1.7).

 

	Q

 

X Y

 

Рис. 1.7 Параметрическая схема объекта моделирования

 

Если их число соответственно m, n, b, а векторы этих параметров:

 

Y = (y₁, y₂, …, y_m); Q = (q₁, q₂, …, q_n); X = (x₁, x₂, …, x_b), то

ММможно отразить отношением в виде математической функции:

Y = F (X, Q)(1.1)

Модель может отражать состояние объекта. Состояние – это совокупность значений свойств объекта (параметров) в определенный момент времени.

 

Величины, характеризующие физическое или информационное состояние моделируемого объекта называют фазовыми переменными— V. Их изменение во времени называют переходным процессом. Тогда ММ представляется в форме:

 

LV = j (z) (1.2)

 

Здесь L— некоторый оператор; z — вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты;

j (z)— заданная функция независимых переменных.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Степень универсальностиММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта. Большинство моделей предназначено для отображения физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства как геометрическая форма объекта.

Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома, характеризует свойства резистора пропускать электрический ток, но не отображает габариты резистора, его цвет, стоимость и т.д.

ТочностьММ оценивается степенью совпадений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Если отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров:Y = (y₁, y₂, …, y_m),тоотносительная погрешность e_j расчёта параметра определяется как:

e_j =( y_{j м} - y_{j ист})/ y_{j ист}

где: y_{j м} —модельное значениеj параметра; y_{j ист.}—истинное значение.

Полученная векторная оценка: e = (e₁, e₂, …, e_m)при необходимости может быть сведена к скалярной, путём использования какой-либо нормы вектора e, например:

 

_М = ккe кк= max e_j , j є [1: m] (1.3)

 

Адекватность ММ — способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения параметров — области адекватности (ОА) математической модели:

 

ОА = {X кe_M Ј d}(1.4)

 

Где: d> 0— заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.

Экономичность ММ характеризуется затратами ресурсов, в том числе и вычислительных (затраты машинного времени и памяти).

Требования высоких точностей, степени универсальности, широкой области адекватности, с одной стороны и высокой экономичности с другой, противоречивы.

Наилучшее компромиссное удовлетворение этих противоречивых требований зависит от особенностей решаемых задач, что в совокупности с большим разнообразием объектов обусловливает широкий спектр математических моделей.

Вопросы:

Что понимают под терминами "математическая модель” и "математическое моделирование”?

Как отражаются количественно свойства объекта в модели?

Чем характеризуются свойства моделируемого объекта?

Какие требования предъявляются к ММ?

Классификация математических моделей

 

Учебные элементы:

1. Признаки классификации моделей.

2. Микро, макро, мета модель

3. Аналитическая, эмпирическая, имитационная модель.

 

Для классификации можно использовать, по крайней мере, 5 признаков (рис. 1.8).

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делят на структурныеи функциональные.

Структурные модели отображают состав и взаимосвязи элементов объекта — топологические, а также геометрические свойства объекта.

Топологические модели обычно имеют форму матриц, графов, списков, а геометрические — совокупностью уравнений линий и поверхностей.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании.

Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений связывающих фазовые переменные и параметры объекта в форме (1.1) и (1.2).

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная ММ — модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояние всех имеющихся межэлементных связей.

Макромодель ММ — модель, в которой выделяются наиболее существенные межэлементные связи укрупнённых частей объекта.

По способу представления свойств объекта модели (как правило, функциональные) делятся на аналитические и алгоритмические. Разновидностью последних являются имитационные модели.

 

Аналитические модели имеют вид (1.1). Они характеризуются высокой экономичностью, однако получение форм (1.1) удаётся лишь в отдельных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих область адекватности модели.

Алгоритмические модели выражают связи параметров в форме алгоритма. Типичной алгоритмической ММ является система уравнений (1.2), дополненная алгоритмом выбранного численного метода решения и алгоритмом вычисления вектора выходных параметров как функционалов решения системы уравнений u(z).

Имитационные модели — алгоритмические модели, отражающие поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Типичный пример — модель систем массового оборудования.

Для получения ММ используют неформальные (концептуальные) и формальные методы. Неформальные методы включают изучение закономерностей процессов и явлений в объекте, выделение существенных факторов, принятие различного рода допущений и их обоснование, математическую интерпретацию имеющихся сведений.

Применение неформальных методов возможно для синтеза ММ теоретических и эмпирических. Теоретические ММ создаются на базе фундаментальных закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений.

Эмпирические ММ получают в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения фазовых переменных на внешних входах и выходах, и обработки результатов измерений.

Формальные методы применяют для получения ММ систем при известных математических моделях элементов.

Более подробного рассмотрения требует признак классификации, который называют принадлежность к иерархическому уровню модели.

 

 

 

Рис. 1.8 Классификация математических моделей

Вопросы:

1. Что понимают под терминами “математическая модель” и “математическое моделирование”?

2. Как отражаются количественно свойства объекта в модели?

3. Чем характеризуются свойства моделируемого объекта?

4. Какие требования предъявляются к ММ?

5. По каким признакам классифицируются модели?

6. Чем отличаются структурная модель от функциональной модели?

7. Как различаются модели по уровню иерархии?

8. Какими способами можно получать ММ?

 

Тема 1. 3 Обеспечение процедуры математического моделирования

Учебные элементы: 1. Виды обеспечения математического моделирования. 2. Техническое обеспечение математического моделирования.

Классификация обеспечения математического моделирования

 

Средства, обеспечивающие реализацию метода математического моделирования можно разделить по видам следующим образом.

Техническое обеспечение — совокупность аппаратных средств, включающая устройства вычислительной и организационной техники, средства передачи данных, измерительные и другие устройства. Техническое обеспечение делится на группы средств программной обработки данных, подготовки и ввода данных, отображения и документирования, архива моделей, передачи данных.

Математическое обеспечение объединяет в себе методы и алгоритмы создания ММ, принципы построения функциональных моделей, методы численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений, постановки и решения экстремальных задач. Математическое обеспечение реализуется в программных продуктов.

Программное обеспечение (ПО) объединяет собственно программы для систем обработки данных на машинных носителях и программную документацию, необходимую для эксплуатации программ. ПО делится на общесистемное, базовое и прикладное (специальное).

Общесистемное ПО предназначено для организации функционирования технических средств и представлено операционными системами ЭВМ. В базовое ПО входят программы, обеспечивающие правильное функционирование прикладных программ.

В прикладном ПО реализуется математическое обеспечение для непосредственного решения уравнений моделей. Прикладные ПО обычно имеет форму пакетов прикладных программ (ППП).

Информационное обеспечение объединяет всевозможные данные, необходимые для реализации ММ. Эти данные могут быть представлены в виде тех или иных документов на различных носителях, содержащих сведение справочного характера о параметрах элементов, структурах и составе моделируемых объектов.

Основная составная часть информационного обеспечения — банк данных (БНД), представляющий собой совокупность средств для накопления и использования данных при создании и реализации ММ. Банк данных состоит из базы данных (БД) и системы управления базой данных (СУБД). БД — сами данные, находящиеся в запоминающих устройствах ЭВМ, а СУБД — совокупность программных средств, обеспечивающих функционирование БНД. С помощью СУБД производится запись данных в БНД, их выборка по запросам пользователей и прикладных программ, обеспечивается защита данных от искажения и несанкционированного доступа.

Лингвистическое обеспечение представлено совокупностью языков, применяемых для описания процедур моделирования и реализации моделей на ЭВМ.

Существо большинства вопросов программного и лингвистического обеспечения изучалось в дисциплине “Основы программирования”. Техническое обеспечение будет изучаться в дисциплине “Микропроцессорная техника”. Содержание математического обеспечения моделирования изучалось в первой части дисциплине "Численные методы и моделирование на ЭВМ".

 

Техническое обеспечение математического моделирования

Аналоговые вычислительные машины (АВМ) – это устройство, выполняющее вычислительные операции над операндами, представленными непрерывными… Цифровые вычислительные машины (ЦВМ) оперируют с дискретными величинами. Все… Гибридные вычислительные машины (ГВМ) – представляют собой систему из АВМ и ЦВМ.

Программное обеспечение математического моделирования для ЦВМ.

  Вопросы: Какие виды обеспечения нужны для осуществления метода ММ?

РАЗДЕЛ 2 Методы построения и формы представление аналитических математических моделей

Тема 2.1Методика создания концептуальных аналитических моделей

Методика создания математических моделей на микро уровне

Учебные элементы параграфа:

1. Микро, макро и мета уровни для концептуальных ММ.

2. Система координат для фазовых переменных.

3. Законы сохранения: массы, энергии, количества движения.

4. Модель с сосредоточенными параметрами.

В зависимости от места в иерархии описаний ММ делятся, как относящиеся к микро, макро, и мета - уровням.

ДУЧП представляют собой математическое выражение законов сохранения субстанции (вещества, энергии, количества движения): ( 2.1)

Рис.2.2 Иерархия математических моделей

Процесс преобразований ММ относящихся к различным иерархическим уровням, для реализации на ЭВМ иллюстрирует рис. 2.3

 

Рис. 2.3 Преобразование математических моделей

 

 

Ветви 1 на рисунке соответствует постановка задачи, относящиеся к микро уровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; алгебраизация — в замене произвольных алгебраическими соотношениями.

Если ДУЧП стационарное (т.е. описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных (ветвь 2).

Если ДУЧП нестационарное (т.е. описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из 2-х этапов:

1). устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат — система ОДУ;

2). устранение производных по времени (ветвь 4).

Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности элементарных операций может либо непосредственным (ветвь 5), либо через посредство предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.

Ветвь 8 на рис. 2.3 соответствует преобразование исходного описания задачи, относящегося к макро уровню, в систему ОДУ с известными начальными условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразно непосредственный переход к системе СЛАУ (ветвь 9).

Для анализа объектов на мета уровне применяют либо переход к системам логических уравнений, системам массового обслуживания и т.д.

Сказанное показывает какое важное значение, отводится в математическом обеспечении моделирования численным методам решения систем различных уравнений.

Пример составления модели на макро уровне

В бак цилиндрической формы с площадью поперечного сечения F= 2 м², поступает вода с постоянной плотностью r = 1000 кг/м³. Вода из бака удаляется насосом, т.е. сток воды из бака постоянный. Составить модель объекта по каналу "расход на притоке – уровень". М_пр = 0.5 кг/с, М_ст = 0.4 кг/с,

Это модель интегрального звена так как передаточная функция где K=1/2000.

Если расход на стоке пропорционален уровню М_ст = ah, то модель будет такой:

, это ОДУ первого порядка (инерционное звено первого порядка).

Более подробно моделирование ТОУ будет рассматриваться в дисциплине "Идентификация и моделирование объектов управления", которая изучается в первом семестре 4 курса.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

1. На какие уровни по иерархии подразделяются концептуальные ММ?

2. В какой форме представляют математические модели на макро, микро и мета- уровне?

3. Какие системы координат используются для записи закона сохранения? Чем они отличаются?

4. Какие составляющие входят в выражение законов сохранения субстанции?

 

РАЗДЕЛ 2 Методы построения и формы представление аналитических математических моделей

Тема 2.1Методика создания концептуальных аналитических моделей

Методика создания математических моделей на микро уровне

Учебные элементы параграфа:

1. Микро, макро и мета уровни для концептуальных ММ.

2. Система координат для фазовых переменных.

3. Законы сохранения: массы, энергии, количества движения.

4. Модель с сосредоточенными параметрами.

В зависимости от места в иерархии описаний ММ делятся, как относящиеся к микро, макро, и мета - уровням.

ДУЧП представляют собой математическое выражение законов сохранения субстанции (вещества, энергии, количества движения): ( 2.1)

Рис.2.2 Иерархия математических моделей

Процесс преобразований ММ относящихся к различным иерархическим уровням, для реализации на ЭВМ иллюстрирует рис. 2.3

 

Рис. 2.3 Преобразование математических моделей

 

 

Ветви 1 на рисунке соответствует постановка задачи, относящиеся к микро уровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; алгебраизация — в замене произвольных алгебраическими соотношениями.

Если ДУЧП стационарное (т.е. описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных (ветвь 2).

Если ДУЧП нестационарное (т.е. описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из 2-х этапов:

1). устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат — система ОДУ;

2). устранение производных по времени (ветвь 4).

Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности элементарных операций может либо непосредственным (ветвь 5), либо через посредство предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.

Ветвь 8 на рис. 2.3 соответствует преобразование исходного описания задачи, относящегося к макро уровню, в систему ОДУ с известными начальными условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразно непосредственный переход к системе СЛАУ (ветвь 9).

Для анализа объектов на мета уровне применяют либо переход к системам логических уравнений, системам массового обслуживания и т.д.

Сказанное показывает какое важное значение, отводится в математическом обеспечении моделирования численным методам решения систем различных уравнений.

Пример составления модели на макро уровне

В бак цилиндрической формы с площадью поперечного сечения F= 2 м², поступает вода с постоянной плотностью r = 1000 кг/м³. Вода из бака удаляется насосом, т.е. сток воды из бака постоянный. Составить модель объекта по каналу "расход на притоке – уровень". М_пр = 0.5 кг/с, М_ст = 0.4 кг/с,

Это модель интегрального звена так как передаточная функция где K=1/2000.

Если расход на стоке пропорционален уровню М_ст = ah, то модель будет такой:

, это ОДУ первого порядка (инерционное звено первого порядка).

Более подробно моделирование ТОУ будет рассматриваться в дисциплине "Идентификация и моделирование объектов управления", которая изучается в первом семестре 4 курса.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

1. На какие уровни по иерархии подразделяются концептуальные ММ?

2. В какой форме представляют математические модели на макро, микро и мета- уровне?

3. Какие системы координат используются для записи закона сохранения? Чем они отличаются?

4. Какие составляющие входят в выражение законов сохранения субстанции?

 

РАЗДЕЛ 2 Методы построения и формы представление аналитических математических моделей

ТЕМА 2.2 Формальный метод построения математических моделей на макроуровне.

Базовые элементы формальных моделей и их описание

  1. Физическая величина. 2. Типы фазовых переменных.

Описание связи между подсистемами разной природы

Учебные элементы параграфа: 1. Трансформаторная связь 2. Гираторная связь

Тема 2.3. Представление математических моделей на макро уровне

Представление в форме эквивалентных схем

Учебные элементы параграфа:

Эквивалентная схема (ЭС) модели.

2. Методика составления ЭС

 

Структуру формальной математической модели на макроуровне можно представлять на разных уровнях абстракции. Одной из них являютсяэквивалентные схемы, которые состоят из набора базовых элементов и связей между ними. Методика построения эквивалентных схем содержит следующие шаги:

Выделить элементы, массу которых надо учесть и изобразить их условным изображением двухполюсника. Один полюс соединить с базовым узлом, определяющим инерционную систему отсчета. Второй будет соединяться с другими элементами.

Выделить элементы трения и упругости. Один полюс элементов трения подсоединить к базовому узлу.

Соединить элементы массы с элементами трения, а элементы упругости между массами.

Выделить источники, прикладываемые к пассивным элементам. Источник силы (потока) соединяется между базовым узлом и массой, на которую он воздействует.

Рассмотрим пример составления эквивалентной схемы для системы, состящей из элементов одной физической природы - технической

Системы механического типа, представленной на рис. 2.9а.     Это грузовик массой m1 , который тянет два прицепа с массой m2, m3.

а)

б)

Рис. 2.9. Механическая поступательная система (а)

и ее эквивалентная схема (б)

Эквивалентная схема для сил и скоростей вдоль горизонтальной оси представлена на рис. 2.9.б.

Сила инерции массы автомобиля, прицепа1и прицепа2, которая преодолевается силой тягиF, противостоят силы сопротивления (трение об поверхность движения)R1,R2,R3. Упругие связи между тягачом и прицепами представляются элементамиL1 иL2.

Если по эквивалентной схеме составить топологические уравнения, то получится система дифференционных уравнений. Это формальная математическая модель.

Для систем, в которые входят подсистемы разнообразной природы эквивалентные схемы создаются для каждой из них с учетом вида связи.

Пример такой системы и ее эквивалентная схема представленны на рис. 2.7.

Cистема состоит из гидравлической подсистемы - трубопровод, заполненный жидкостью и механической подсистемы - цилиндр с поршнем.

Гидравлическая подсистема (p) представляется тремя пассивными элементами:C1- емкость трубопровода;L1– индуктивность (упругость среды);R1– сопротивление трения по длине трубопровода; и двумя активными:Р- источник давления (потенциальный);М- источник расхода (поток).

Механическая подсистема (q) состоит из следующих базовых элементов:m1- масса поршня;m2- масса штока;R2- трение поршня о стенки цилиндра;R3- трение штока об уплотнение;UP1- упругая связь между поршнем и штоком;F1- (источник) сила, которая воздействует на поршень через шток.F2 - сила, воздействующая на поршень со стороны жидкости.

а)

б)

Рис. 2.10. Гидро-механическая система (а),

ее эквивалентная схема (б)

Связь между подсистемами гираторная, так как движение поршня со скоростьюVпод влияниемF2изменяет объем и появляется расход средыМ. В свою очередь изменение давления Р вызывает появление силыF1 = k2P влияния давления жидкости на поршень.

M=k₁V → I_p = f₁(U_q)

F1 = k2 P → Iq = f21(Up), где

Р– давление (потенциал) гидравлической системы;

V– скорость (потенциал) механической системы.

Более абстрактной формой модели на макроуровне являетсяеё представление на уровне графа.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

1. Как составить эквивалентную схему макро модели?

 

Представление математической модели в форме графа

Учебные элементы параграфа: 1. Граф, орграф 2. Вершина, ребро (ветвь), дуга

Рис. 2.3 Математическая макромодель

 

Система состоит из 5-ти элементов. Один активный – источник потенциала, три пассивных и один вспомогательный – ключ.

При замыкании ключа в цепи появится ток i. Первые два уравнения системы (2.13) топологические, а остальные компонентные.

 

(2.13)

 

 

Продифференцируем уравнение для тока через ёмкость:

 

 

Тогда с учётом того, что:

или

 

(2.14)

 

Таким образом, математическое описание этой простой системы на макро уровне представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка, которое легко решается с помощью пакета MatLab.

На метауровне моделируют сложные технические объекты - системы управления (СУ), системы массового обслуживания (СМО). Подходы к ним различные, поэтому моделирование СМО рассмотрено в разделе 3.

Модели СУ, как правило, описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для решения задачи можно использовать программный комплекс MatLab, ПК МВТУ или SciLab.

Методика моделирования основана на установленные соответствия между компонентами исходных уравнений и блоками, реализуемыми на персональном компьютере (например, пакет Simulink, который содержится в составе пакета MatLab).

Рассмотрим простой пример. Система управления состоит из бака со свободным сливом воды и Пи-регулятора, который должен поддерживать уровень в заданных границах.

Объект описывается дифференциальным уравнением:

ПИ-регулятор описывается уравнением:

 

выполнив следующие преобразования, получим систему уравнений

 

 

Это система из двух дифференциальных уравнений первого порядка, которые были решены относительно производных. Производная первого уравнения представляет собой сумму двух слагаемых. Производная второго уравнения содержит тоже два слагаемых. Одно из них - производная из первого уравнения. Структурная схема составляется следующим образом. Предполагают, что y^' существует. Если её продифференцировать, то можно получить y.

Эти уравнения логически представить в виде структурной схемы (рис. 2.13)

 

 

 

 

Рис.2.13. Структурная схема метамодели СУ

Эта схема реализуется в среде Simulink набором соответствующих блоков из библиотеки.

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

1. Перечислить составляющие методики построения формальной ММ.

2. Перечислить составляющие методики моделирования на макроуровне.