Линейно упругих систем. Удельная потенциальная энергия

Внешние силы, совершают работу W на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кин. энергию движения частиц тела К. Уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде: W = U + K. При действии статических нагрузок К = 0, следовательно, W = U. В случае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей пот. энергии деформации рассмотрим пример :

На рис изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку Dl, в соответствии с законом Гука график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня Dl. Дадим некоторое приращение силе DР - соответству­ющее приращение удлинения составит d (Dl ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dW = (P + d P)×d (Dl) = P×d (D l) + d P × d (Dl),

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда dW = P×d (D l ).работа внешней силы Р на перемещении Dl будет равна площади треугольника ОСВ т.е. W = 0,5 Р×Dl . Потенциальная энергия деформирования В данном случае имеем, что V = Al, P = sA и s = Еe, то ,С учетом для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при Р = const получим:

Если на систему действуют несколько сил, то работу определяют

 

 

2) Особенности статически неопределимых систем (на примере ….)

Системы, в которых количество неопределимых силовых факторов больше, чем число уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

На рис. изображен кронштейн, состоящий из двух стерж­ней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертикальное усилие Р, а система яв­ляется плоской (т.е. все элементы конструкции и вектор внешних сил лежат в одной плоскости), получается, что усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А, т.е. åx = 0, åy = 0.

Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линей­ных уравнений относительно неизвестных усилий N₁ и N₂ в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:

-N₁ - N₂ sin a = 0; -N₂ cos a - Р = 0.

Если конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень то усилия в стержнях N₁, N₂ и N₃ прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия имеются уже три неиз­вестных усилия в стержнях. В таких случаях говорят, что сис­тема один раз статически неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью статической неопределимости рассматриваемой системы : С = m – n