Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений).

На рисунке показана полученная методом теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как мы видим, напряжения равны нулю. Наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон, в точках А:

τ_А= τ_max=

В точках В:

_в=τ_max, где а - большая, b - малая сторона прямоугольника. Коэффициенты и зависят от отношения сторон Коэффициент β также зависит от этого отношения. Эти данные приводятся в таблицах.

Угловое перемещение:

Обобщённые ф-лы:

Ф-ла для расчёта касательных напряжений: , где

для расчёта углового перемещения:

Для прямоугольника: , –геометрические параметры, зависящие от формы сечения.

Потенциальная энергия, накопленная закрученным брусом:

2. Теорема Кастильяно: Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.

, где – линейное перемещение точки приложения силы

Для момента: , где – угловое перемещение

Вывод: Рассмотрим стержень, нагруженный произвольной системой сил и закрепленный как показано на рис.

Силе F_n дадим приращение dF_n Тогда потенциальная энергия U получит приращение и примет вид U+.(5.4)

при обратной последовательности приложения сил выражение для потенциальной энергии получаем в виде

Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывая произведение dPn· dδ_n /2 как величину высшего порядка мало­сти, находим