Теплообмене

№ п/п	Наименование величины	Показатель степени	Размерности
			кг	м	с	°К	Дж
	l	il	-
	u	iu		-2	-1
	m	im		-1	-1
	r	ir		-3
	l	il		-1	-1	-1
	С	ic	-1			-1
	a	-1		-2	-1	-1

 

Исключаем размерности:

1 — (кг) i_u + i_m + i_r - i_c = 0

2 — (м) i_l - 2i_u - i_m - 3i_r - i_l+ 2 = 0

3 — (c) - i_l -i_m - i_l+ 1 = 0

4 — (°К) - i_l - i_c + 1 = 0

5 — (Дж) i_l + i_c - 1 = 0.

Как видно из последних двух уравнений, полученных исключением размерности, они тождественны, т. к. определяются из теплоемкости воды. Таким образом, имеем 4 независимых уравнения связи при шести независимых переменных. Следовательно, в исходной системе уравнений только два неизвестных показателя подлежат экспериментальному определению, а остальные определяются по полученной системе уравнений в зависимости от этих двух основных. Например, в опыте определены показатели и они соответственно равны: i_u= n; i_c = m (n, m — число); тогда, используя систему уравнений, получим:

из 4 — i_l= 1 - i_c= 1 - m

из 3 — i_m = - i_u - i_l + 1 = -n + 1 + m - 1 = m - n

из 1 — i_r = i_c - i_u - i_m = m - n - m + n = 0

из 2 — i_l = 2i_u + i_m + i_l + 3i_r - 2 = 2n + m - n +1 - m - 2 = n - 1.

Подставив полученные значения показателей в (4.48), получим

(4.49)

Преобразуем полученные уравнения, сгруппировав величины с одинаковыми показателями

(4.50)

или

, (4.51)

где ul/μ = ωl/ν = Re — критерий Рейнольдса — критерий гидродина-мического подобия;

μС/λ = ν/a = Pr — критерий Прандтля — критерий теплофизического подобия;

αl/λ = Nu — критерий Нуссельта — критерий теплового подобия.

Таким образом, на основании теории размерностей получено уравнение связи безразмерных параметров, характеризующих теплообмен в условиях вынужденной конвекции и число независимых переменных снижено с 6 до 2, что обеспечивает возможность их экспериментального определения, и тогда N=Aⁿ=100.

Правильность использования теории размерностей подтверждается π-теоремой, исходя из чего физическое уравнение, содержащее n³2 размерных величин, из которых m³1 имеют независимые размерности, после приведения их к безразмерному виду должно содержать n безразмерных параметров n = n – m. В нашем случае n = n – m = 6 – 4 = 2. Численные значения постоянных, входящих в уравнение (4.51) С₀, n, m, определяются экспериментально и в зависимости от вида теплообмена приводятся в справочной литературе, некоторые даны в табл. 4.3.