Условие равновесия (закон Паскаля)

Равновесие жидкости может иметь место либо в случае, когда она находится в состоянии покоя, либо когда она движется подобно твердому телу с одинаковой скоростью во всех точках объема (например, перевозка жидкости в цистерне). Если жидкость находится в равновесии, то отсутствуют касательные напряжения, нарушающие равновесие, и действуют только объемные (массовые) силы и нормальные к поверхности силы давления.

Рисунок 2.1 - Схема сил в точке при равновесии

Рассмотрим условия равновесия элементарного объема жидкости, находящегося под действием поверхностных и массовых сил. Для этого в покоящейся жидкости выделим элементарный тетраэдр с длинами сторон dx, dy, dz. Три грани тетраэдра лежат в координатных плоскостях, а четвертая, наклонная, является замыкающей (рис. 2.1). Чтобы не нарушать равновесие выделенного объема заменим действие отброшенной жидкости поверхностными силами (давления) F_Рn, F_Рx, F_Ру, F_Рz направленными по нормали к граням тетраэдра. На выделенный объем (V) действует также массовая сила F_m = r·V с ускорением (X, У, Z); X, У и Z - проекции ускорения массовой силы на координатные оси. Для сохранения равновесия необходимо, чтобы сумма всех сил или суммы проекций всех сил на координатные оси были равны нулю. Например, в проекции на ось х

F_Px - F_Pn cos(n,^x)+r·V·X=0

где n - орт нормали к наклонной грани. Если это уравнение разделить на площадь поверхности тетраэдра S_x, лежащей в координатной плоскости z0y, то получим условия равновесия в величинах напряжения сил давления (или в величинах давления):

Объем тетраэдра V=1/6(dx×dy×dz), поверхность S_x=1/2(dy×dz), отношение

;

Поскольку S_x =S_n cos(n,^x), получим

P_x – P_n + 1/3·X·r·dx = 0

Если выделенный объем устремить к точке, т.е. dx®0, , то напряжение массовых сил исчезнет. Получим

p_x=p_n; p_y=p_n; p_z=p_n ,

а значит

p_x=p_y=p_z=p_n=p. (2.1)

Из последнего выражения следует, что напряжение силы давления, называемое гидростатическим давлением в точке, не зависит от ориентации площадки, к которой приложено давление. Этот вывод является выражением известного закона Паскаля: "давление на поверхности жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях". Очевидно, что если давление не зависит от ориентации площадки, проходящей через данную точку и определяется только положением точки в жидкости, то давление есть функция только координат этой точки, т.е. p = f (x,y,z).