Поле скоростей и ускорений

Эйлерово поле скоростей выражается в виде

(3.1)

где w_x(x,y,z,t), w_y(x,y,z,t), w_z(x,y,z,t) - проекции компонент вектора скорости, - единичные векторы (орты), направленные по осям x,y,z (рис. 14).

Любое изменение компоненты скорости в окрестности некоторой точки определяется всеми четырьмя аргументами: x, y, z, t. Например, изменение x - компоненты скорости (полный дифференциал) по правилу дифференцирования функции многих переменных равно

и компоненты перемещений не являются независимыми и равны: dx=w_xdt, dy=w_ydt, dz=w_zdt. Подставляя эти выражения в ранее записанное и деля его на dt, получим

 

Рисунок 3.1 - Вектор скорости и его компоненты

(3.2)

Полученное выражение является полной, или субстанциальной производной, представляющей собой быстроту изменения x - компоненты скорости частицы жидкости. Величина

x - компонента вектора ускорения. Аналогично:

,.

Таким образом, компоненты ускорения

(3.3)   (3.4)   (3.5)

Вектор ускорения можно записать в виде

, (3.6)

или, применяя оператор Гамильтона

,

ускорение жидкой частицы можно представить в виде

. (3.7)

Первое слагаемое правой части называют локальными составляющими, второе - конвективными. Если все локальные составляющие равны нулю, то движение жидкости является стационарным. Если к тому же и все конвективные составляющие равны нулю, движение является равномерным, что соответствует плоскопараллельному движению.

Изменение любых других характеристик движения или свойств жидкости, являющихся не только векторными, но и скалярными величинами (температура, плотность, концентрация и др.), может рассматриваться подобно изменению скорости. Например, быстрота изменения температуры

,

или

.

В практике часто пользуются понятиями средних скоростей. Среднее за промежуток времени t₀ значение скорости

, (3.8)

среднее по некоторой площади s значение скорости

(3.9)