Равновесие несжимаемой жидкости под действием сил тяжести

Рассмотрим простейший случай равновесия неподвижной массы несжимаемой жидкости, находящейся под воздействием только сил тяжести, ускорение которой направлено вертикально вниз. Если координатную ось направить вниз, то в уравнении (2.4) компоненты ускорения массовых сил Х=Y=0, а Z=g и дифференциальное уравнение статики примет вид

Рисунок 2.3. К выводу основного уравнения гидростатики

dp = r×g×dz. (2.6)

Если полагать, что свободная поверхность (рис. 2.3) имеет координату z₀ и на этой поверхности внешнее давление равно p₀ (в частном случае это давление может быть равно атмосферному р_атм), то, интегрируя уравнение (2.6) в пределах от z₀ до z и от р₀ до р получим, при условии r=const

р = р₀+r×g×(z-z₀) . (2.7)

Если начало координатной оси Оz совместить с уровнем свободной поверхности, тогда z₀=0 и уравнение (2.7) примет вид:

p = p₀+r×g×z. (2.8)

Это выражение называется основным законом гидростатики: давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению (р₀), сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания, равной единице.

Если в выражении (2.4) положить p=const, или dp=0, то получим уравнение поверхности уровня

X×dx+Y×dy+Z×dz = 0, или dU=0, (2.9)

следовательно поверхность уровня является и поверхностью равного потенциала, или эквипотенциальной поверхностью. Какова форма поверхности уровня для жидкости, находящейся под действием только сил тяжести? Чтобы ответить на этот вопрос положим p=const, тогда уравнение поверхности (2.9) примет вид:

т.е. поверхностью уровня является горизонтальная плоскость.