Некоторые понятия теории гидродинамического пограничного слоя

Уравнения движения реальной жидкости Навье-Стокса весьма сложны, и их аналитическое решение, т.е. получение полей скоростей, ускорений и давлений для конкретных условий, является пока неразрешимой задачей. В то же время практика выдвигает гидрогазодинамические задачи, без решения которых невозможно рассматривать такие вопросы, как конвективный тепло - и массообмен, развитие струй в сплошной и движущейся среде, взаимодействие струй между собой и другие практически важные и сложные элементы движения, с которыми приходится встречаться в объектах промтеплоэнергетики. Для частичного или приближенного решения таких задач были созданы частные теории, наибольшее значение, среди которых имеет полуэмпирическая теория пограничного слоя Л. Прандтля.

В основе теории гидродинамического пограничного слоя лежит физически очень простое и понятное положение, заключающееся в том, что, как следует из формулы Ньютона для вязкого трения

достаточно большие значения касательных напряжений (и сил внутреннего трения) могут возникать лишь при наличии достаточно больших градиентов скорости. Только в этих случаях имеет смысл принимать в расчет силы внутреннего трения, действующие в реальной жидкости. В других случаях, когда , жидкость можно рассматривать как невязкую, идеальную.

Очевидно, что большие градиенты скорости могут возникать в двух случаях. Во-первых, при движении жидкости вблизи твердой поверхности, т.к. на поверхности скорость равна нулю (условия прилипания). Во-вторых, вблизи зоны контакта двух потоков жидкости, имеющих существенную разницу в скоростях. В первом случае говорят о возникновении пристеночного пограничного слоя, во втором - свободного пограничного слоя.

Рисунок 8.1 - Пристеночный пограничный слой

На рисунке 8.1 показана схема образования пристеночного пограничного слоя. Турбулентный поток, имеющий однородное поле скоростей W₀ при x£0, набегает на пластину, неограниченную в направлении оси z. При x>0 скорость на поверхности равна нулю, а вблизи поверхности образуется сначала тонкий ламинарный пограничный слой, толщина которого d_л затем возрастает по мере удаления от края пластины, поскольку возмущающее (тормозящее) действие пластины проникает глубже в поток. В пределах пограничного слоя имеет значительный градиент скоростей, вне пограничного слоя - невозмущенный однородный поток. По мере удаления от кромки пластины в направлении оси x и роста d увеличивается масса жидкости в пограничном слое, а следовательно, увеличивается и сила инерции, и одновременно уменьшаются силы внутреннего трения вследствие уменьшения градиента скорости. На некотором расстоянии x_кр ламинарный режим теряет устойчивость, т.к. силы инерции начинают преобладать над силами внутреннего трения, и появляется турбулентный пограничный слой δ, состоящий из двух зон: большая часть - собственно турбулентная зона толщиной d_т и тонкий ламинарный подслой, толщиной d_л, примыкающий к поверхности.

На рисунке 8.2 показана схема образования свободного пограничного слоя. До x£0 два однородных потока w₀₁ и w₀₂ двигались, будучи разделенными тонкой пластиной. Когда пластина кончается (x > 0), потоки начинают кон тактировать, в результате чего образуется расширяющаяся зона, разделяющая два невозмущенных потока. Эта зона, в которой происходит изменение скорости от w₀₁ до w₀₂, носит название свободного пограничного слоя. Если оба потока были турбулентными, то и пограничный слой тоже будет турбулентным; поэтому при взаимодействии двух свободных турбулентных струй отсутствует ламинарный подслой, т.к. нет тормозящего (стабилизирующего) влияния твердых стенок.

Рисунок 8.2 - Свободный пограничный слой

На рисунке 8.3 показана схема образования пограничного слоя при движении жидкости в трубе. Однородный поток жидкости втекает в трубу и на входе имеет одинаковую по сечению эпюру скоростей. Затем начинается затормаживание потока у поверхности, образование пограничного слоя и искажение профиля скоростей. Здесь наблюдаются такие участки: Ι называемый входным, в котором наряду с увеличивающимся пограничным слоем существует и потенциальное ядро с невозмущенным потоком; ΙΙ - участок стабилизации, или перестройки профиля скоростей; III - участок стабилизированного движения, на котором может иметь место как турбулентное, так и ламинарное течение, что определяется значением числа Рейнольдса.

Рисунок 8.3 - Стабилизация потока в трубе

Полуэмпирические теории пограничного слоя позволяют рассчитать толщину пограничного слоя и профиль скоростей. Например, для пограничного слоя у твердой поверхности толщина ламинарного слоя d зависит от расстояния от края пластины X (рисунок 8.1) и рассчитывается по формуле

Рисунок 8.4 - Профиль скоростей в пограничном слое

, (8.1)

а профиль скоростей в слое (рисунок 50) описывается уравнением:

. (8.2)

Толщина турбулентного пограничного слоя описывается уравнением

(8.3)

а профиль скоростей вычисляется по формуле

(8.4)

В выражениях (8.1) и (8.3) число Рейнольдса определяется по формуле: