Метод масштабных преобразований

Метод масштабных преобразований рассмотрим на примере стационарного изотермического движения вязкой жидкости при наличии сил тяжести. Процесс получения критериев может быть разделен на следующие этапы.

1) Постановка задачи. На плоскую вертикальную стенку (рис. 9.1) набегает поток со скоростью w₀. У поверхности стенки формируется пограничный слой толщиной “d”. Задача эксперимента - исследовать поле скоростей и давлений в пограничном слое на участке l₀.

Рисунок 9.1 - Движение вязкой жидкости у поверхности плоской стенки

 

 

Cтационарное движение вязкой жидкости может быть описано дифференциальными уравнениями Навье-Стокса и неразрывности. В векторной форме:

(9.1)

(9.2)

Из всех массовых сил действует только сила тяжести с ускорением g, направленным вдоль оси X. Поэтому в развернутом виде уравнения (9.1) и (9.2) примут вид :

(9.3)

(9.4)

Сформулируем условия однозначности. Т.к. движение стационарно, начальные условия не нужны. Граничные условия :

- вдали от тела, x<0

w_x = w₀; w_y = w_z = 0,

(т.е. на тело набегает одномерный поток )

- на поверхности тела (y=0; 0 £ x £ l₀)

w_x = w_y = w_z = 0.

В условия однозначности входят так же теплофизические свойства жидкости; плотность r и кинематическая вязкость n.

Анализ уравнений (9.3) и (9.4) и условий однозначности показывает, что они включают следующие величины:

- независимые переменные - координаты x, y, z, м;

- постоянные величины r,n,g,w₀,l₀, где

r - плотность, кг/м³,

n - коэффициент кинематической вязкости, м²/c,

g - ускорение силы тяжести м/с²,

w₀ - характерная скорость, м/с,

l₀ - характерный размер, м;

- зависимые переменные - w_x ,w_y ,w_z, p, где

w_x ,w_y ,w_z - компоненты скорости, м/с;

p - давление, Па.

Зависимые переменные однозначно определяются значениями независимых переменных и постоянных величин, т.е. необходимо определить следующие зависимости:

1) p = ¦₁ (x,y,z,r,n,g,w₀,l₀)

2) w_x = ¦₂ (x,y,z,r,n,g,w₀,l₀) (9.5)

3) w_y = ¦₃ (x,y,z,r,n,g,w₀,l₀)

4) w_z = ¦₄ (x,y,z,r,n,g,w₀,l₀).

Таким образом, в математическом описании связанно 12 величин: x, y, z, r, n, g, w₀, l₀, p, w_x, w_y, w_z, в т.ч. 4 независимых переменных (исходных величин), и имеется система 4-х уравнений

2) Приведение уравнений (9.3) и (9.4) к безразмерному виду. Выберем в качестве масштабов характерные скорость w₀ и размер l₀. Выполним масштабные преобразования в виде замены, обозначив прописными буквами безразмерные переменные:

x=l₀×X; w_x=w₀×W_x;

y=l₀×Y; w_y=w₀×W_y;

z=l₀×Z; w_z=w₀×W_z;

Подставим замену в уравнения (9.3) и (9.4), при этом масштабы как постоянные величины можно вынести за операторы дифференцирования; после деления уравнения Навье-Стокса на комплекс получим систему следующих безразмерных уравнений :

(9.6)

. (9.7)

3) Выявление критериев подобия. В результате масштабных преобразований из размерных уравнений (9.3) и (9.4) получены безразмерные уравнения (9.6) и (9.7) , в которые входят следующие безразмерные величины:

- критерии - симплексы

определяющие:

определяемые:

- критерии - комплексы

определяемые: число Эйлера

определяющие - число Фруда

и число Рейнольдса .

Теперь зависимости определяемых параметров от определяющих имеет вид:

1. Еu= j₁ (X,Y;Z; Re; Fr)

2. W_x= j₂ (X,Y;Z; Re; Fr) (9.8)

3. W_y= j₃ (X,Y;Z; Re; Fr)

4. W_z= j₄ (X,Y;Z; Re; Fr).

В результате масштабных преобразований количество величин, характерных для процесса, уменьшилось с 12 до 9:

было: x, y, z, w_x, w_y, w_z, p, r, n, g, l₀, w₀ ;

стало: X; Y; Z; W_x ; W_y ;W_z;e_u ; Re; Fr

Сделаем проверку по второй теореме подобия. В 12-ти исходных величинах использованы три независимые единицы измерения (м, с, кг). В соответствие с теоремой Бэкингема n=12 , m=3; число безразмерных величин должно быть n-m=12-3=9.

4) Проведение исследований и обработка экспериментальных данных. После введения критериев подобия, характерных для данного явления, производят измерение полей скоростей и давлений на модели, а результаты обрабатывают и представляют в виде безразмерных эмпирических уравнений, например, в виде

. (9.9)

и т.д

где коэффициенты А₁,А₂ и т.д., а также степени a₁, a₂ , b₁, b₂, и т.д. – рассчитываются по экспериментальным данным. Полученные эмпирические уравнения (9.9) справедливы как для модели, так и для образца, т.е. для всего класса подобных явлений.