Равновесие жидкости, покоящейся относительно сосуда и вращающейся относительно вертикальной оси

Пусть жидкость, находящаяся в сосуде, вращается вместе с сосудом относительно вертикальной оси с угловой скоростью w (рис. 2.5). На покоящуюся относительно сосуда жидкость будут действовать центробежные силы и силы тяжести. Если расположить координатные оси Ох и 0y в горизонтальной плоскости, а ось направить вертикально вниз, то проекции ускорения центробежных сил будут равны (в соответствии с теорией вращательного движения): X=w²x, Y=w²y, а ускорение силы тяжести Z=g. Тогда основное дифференциальное уравнение статики (2.4) примет вид:

dp = r×(w²xdx+w²ydy+gdz).

После интегрирования получим

Рисунок 2.5 Равновесие жидкости, вращающейся вокруг вертикальной оси

Константа интегрирования определяется из условия: для x=0, y=0, z=z₀, p=p₀. Тогда

C=p₀+r×g×z,

а зависимость давления от координат будет иметь вид:

. (2.12)

Поверхность уровня (p=const) находится после преобразования (2. 12) к виду:

(2.12)

(в константу С₁ вошли все постоянные величины). Выражение (2.13) представляет собой уравнение параболоида вращения.