Уравнения гидростатики для сжимаемых сред

Рассмотрим равновесие сжимаемой жидкости (газа), находящейся под действием только сил тяжести. В качестве примера рассмотрим изменение давления воздуха по высоте атмосферы. Направим координатную ось вертикально вверх. Тогда основное дифференциальное уравнение статики (2.4) будет иметь вид

dp = -r×g×dz. (2.14)

Т.к. воздух - сжимаемая среда, необходимо учитывать зависимость плотности от температуры и давления, что можно сделать, используя уравнение Клапейрона - Менделеева:

;

тогда учитывая зависимость температуры от высоты, из (2.14) получим:

.

После интегрирования с учетом того, что на уровне z=z₀ давление р=p₀, получим

. (2.15)

Эта формула носит название барометрической. Если считать, что атмосфера находится в изотермическом равновесии, т.е. T(z)=const то

. (2.16)

Если задано линейное изменение температуры по высоте атмосферы T=T₀-b(z-z_o), что справедливо до z=11 км, барометрическая формула примет вид:

. (2.17)

Другой вариант барометрической формулы можно получить, приняв температуру одинаковой по высоте и используя закон Бойля - Мариотта. Подставляя в уравнение (2.14)

r = r₀×,

разделяя переменные и интегрируя, получим

. (2.18)

Вводя обозначение и решая относительно р, получим еще один вариант барометрической формулы:

. (2.19)

Если записать (2.17) для двух высот z₁ и z₂:

получим барометрическую формулу в виде:

, (2.20)

которая используется для определения высоты по измеренным значениям барометрического давления р₁ и р₂.

Рисунок 2.6. Изменение давления, температуры и плотности по высоте атмосферы

На рисунке 2.6 приведены параметры международной стандартной атмосферы (МСА). На поверхности Земли z₀ приняты нормальные атмосферные условия: Т=288, р= 760 мм.рт.ст. (101300 Па). В пределах 11 километров падение температуры принимается линейным (6,5°С на 1 км).

Объекты промтеплоэнергетики имеют относительно небольшую высоту (дымовые трубы - до 300-400 м), поэтому на практике для определения изменения давления газа по высоте используют основной закон гидростатики для несжимаемой жидкости:

p = p₀-(z-z₀)×g×r.

Если высота объекта не более 400 м, погрешность этой формулы не превышает 0,5 %, что вполне допустимо для технических расчетов.