Для решения первой задачи существует два метода: точный и приближенный.
а) Точный метод отыскания вектора валовых выпусков Х.
Запишем модель Леонтьева в матричном виде
АХ + Y = Х, откуда: Х – АХ =Y или (Е – А) × Х = Y, (3.9)
где Е – единичная матрица той же размеренности, что и матрица А; (Е – А) – матрица Леонтьева.
Отсюда решение задачи находится из следующего выражения:
Х = (Е – А)-1 × Y, (3.10)
где (Е – А)-1 – обратная к матрице Леонтьева матрица.
Неотрицательное решение задачи существует, если
0 £ аij < 1:
< 1, j = .
б) Приближенный метод отыскания вектора валовых выпусков.
Разложим матрицу (Е – А)-1 в ряд Тейлора, получим
(Е – А)-1 = Е + А + А2 + … + Аk + …
Подставим найденное выражение в зависимость (3.10).
Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А, вектор конечной продукции – Y:
А = , Y =
Определить вектор валовых выпусков и величины межотраслевых поставок.
Решение найдём с помощью функций Excel из категории Математические. Так, обратную матрицу В = (Е – А)-1 найдём с помощью функции =МОБР, вектор Х=В*Y – с помощью функции =МУМНОЖ. Транспонировать вектор Х поможет функция =ТРАНСП (рис. 52). Названные функции вводятся в виде формул массива. Например, для нахождения обратной матрицы следует выделить область B13:D15, ввести функцию =МОБР(B9:D11), нажать клавишу F2 и завершить расчёт нажатием комбинации клавишей Ctrl+Shift+Enter.
Величины межотраслевых поставок определяются из выражения
Xij = aij / Xj ,
где Xj - элементы транспонированного вектора валового выпуска.
Рис. 52. Расчёт вектора валового выпуска
Решение задачи поиска вектора валового выпуска в модели межотраслевого баланса возможно с помощью симплекс-метода.
Представим модель межотраслевого баланса в виде задачи линейного программирования.
Функция цели – максимальный объём валового выпуска
система ограничений
условие неотрицательности получаемого решения
xj ³ 0 .
Система уравнений межотраслевого баланса имеет вид
Преобразуем систему уравнений к следующему виду, оставив значения конечного продукта в правой части ограничений, а искомые значения валового выпуска – в левой части
При решении задачи с помощью надстройки Поиск решения введём исходные данные и математические выражения так, как это показано на рис. 53.
Рис. 53. Ввод исходных данных в модель оптимизации
Для получения решения задачи необходимо вызвать в меню Сервис надстройку Поиск решения и заполнить её так, как это показано на рис. 54.
Рис. 54. Заполнение диалогового окна Поиска решения
На рис. 55 показаны результаты решения задачи межотраслевого баланса. Вектор валового выпуска Х= (46,93 53,27 27,38). В целевой ячейке величина суммы валовых выпусков отраслей - 127,579 ден.ед.
Рис. 55. Результата решения задачи межотраслевого баланса