методы ОПТИМАлЬНЫХ РЕШЕНИЙ

 

 

С. В. Амелин

 

методы оПТИМАлЬНЫХ

РЕШЕНИЙ

 

Часть 2

 

Учебное пособие

 

 

 

Воронеж 2012

 

 

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

 

С.В. Амелин

 

 

методы оПТИМАлЬНЫХ

РЕШЕНИЙ

 

Часть 2

 

 

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

 

 

Воронеж 2012

УДК 519.85 (075) + 658.012.122 (075)

 

Амелин С.В. Методы и модели в экономике и управлении: учеб. пособие Часть 2 / С.В. Амелин. - Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012. 233 с.

 

Представлены основные разделы экономико-математического моделирования, необходимые экономистам и менеджерам (руководителям и специалистам) для обоснования управленческих решений в сложных производственно-экономических ситуациях и проверки их на моделях процессов, протекающих в сложных организационных системах. При изложении материала используется компьютерно-ориентированный подход.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям 080100 «Экономика», дисциплине «Методы оптимальных решений» всех форм обучения.

Табл. 72. Ил. 88. Библиогр.: 11 назв.

 

Научный редактор д-р экон. наук, проф. О.Г. Туровец

 

Рецензенты: кафедра менеджмента

Института менеджмента, маркетинга и финансов (зав. кафедрой д-р экон. наук, проф. В.И. Алешникова);

канд. экон. наук, доц. И.П. Кондратьева

 

 

© Амелин С.В., 2012

© Оформление. ФГБОУ ВПО

“Воронежский государственный

технический университет”, 2012

 

 

 

Введение

 

Сложный характер теоретических и практических задач современной рыночной экономики требует использования математических методов в экономических исследованиях. Проблемы, с которыми сталкиваются специалисты в различных областях экономики, зависят от множества различных, противоречивых факторов, меняющихся со временем и влияющих на другие проблемы и процессы.

В последнее время математическое моделирование является одним из важнейших методов изучения и анализа экономических объектов и процессов и прогнозирования их развития. Важность использования математических методов в анализе экономических проблем подчеркивается тем, что Нобелевские премии в области экономики получают в основном за успехи в экономико-математическом моделировании.

Экономико-математическое моделирование – это один из эффективных методов описания сложных социально-экономических систем и процессов.

Математические модели отображают экономические проблемы в абстрактной форме и позволяют учесть большое число различных характеристик исследуемых проблем.

Экономико-математическое моделирование призвано помочь руководителям различного ранга в выработке, обосновании и принятии эффективных, качественных решений в области экономики, организации производства и управления, в инвестиционном проектировании и в финансовой сфере. Это должно повысить надежность функционирования производственно-экономических систем.

Квалифицированные специалисты в различных областях экономической деятельности должны обладать обширными познаниями в сфере экономико-математического моделирования для решения задач оптимального распределения органических ресурсов; выработки эффективных решений в условиях неопределенности, противоречивости ограничений; анализа производственно-экономической информации и прогнозирования развития исследуемых процессов на основе современных компьютерных технологий.

Из всего многообразия экономико-математических методов и моделей выберем межотраслевые балансы, сетевые методы планирования и управления, теорию массового обслуживания, модели управления запасами, теорию игр и статистических решений, математическое программирование. Рассмотрим способы построения моделей и их применение для решения экономических задач.

Пакет программ прикладного математического моделирования ППП PRIMA в среде Excel для персональных компьютеров разработан Амелиным С.В., д.э.н., профессором кафедры экономики и управления на предприятии машиностроения Воронежского государственного технического университета.

 

Тема 1. СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ

ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

 

Успешное управление фирмой предполагает, что ее руководители и специалисты должны иметь представление о методах календарного планирования выполнения комплекса работ, контроля за ходом и сроками их выполнения и регулирования возникающих отклонений путем перераспределения ресурсов. Для этого следует подробно описать последовательность взаимосвязанных работ, выполнение которых необходимо для достижения поставленной цели.

Объектом управления в системе сетевого планирования и управления (СПУ) является коллектив исполнителей, располагающий определенными материальными и денежными ресурсами и выполняющий комплекс работ, направленный на достижение конечного результата в установленные сроки.

Система СПУ позволяет:

1. Составлять календарный план реализации комплекса работ.

2. Выявлять и мобилизовать резервы времени, трудовые, материальные и денежные ресурсы.

3. Повышать эффективность управления, прогнозируя и предупреждая возможные срывы в ходе выполнения работ.

Система СПУ включает следующие основные этапы:

1. Выявление работ, которые необходимо провести, составление их подробного перечня и установление их последовательности и связи между ними.

2. Построение сетевого графика на основе выявленной очередности выполнения работ.

3. Учет имеющихся ресурсов, установление количественных оценок по каждой работе (например, время выполнения, количество исполнителей).

4. Расчет параметров сетевого графика.

5. Анализ и оптимизация сетевого графика (для ускорения выполнения работ производится необходимое перераспределение ресурсов).

6. Использование сетевого графика как основного инструмента управления ходом работ.

 

Сетевая модель и ее основные элементы

 

Сетевая модель – это математическое описание календарного плана выполнения комплекса взаимосвязанных работ. Графическое изображение сетевой модели имеет форму сети и называется сетевым графиком.

Допустим, перед фирмой стоит задача реконструкции помещения. Перечень работ представлен в табл. 1.1. Сетевой график представлен на рис. 1.

Основными элементами сетевой модели являются событие и работа. Работа – это любое действие (процесс или связь), приводящее к определенному результату – событию.

С позиций теории графов сетевая модель представляет собой связный ориентированный граф с вершинами – событиями и направленными дугами (рёбрами) – работами.

Различают следующие виды работ:

1. Действительная работа, т.е. протяженный во времени активный процесс, требующий затрат ресурсов.

2. Ожидание, т.е. протяженный во времени пассивный процесс, не требующий затрат трудовых ресурсов (твердение бетона, остывание металла, высыхание краски).

3. Фиктивная работа (зависимость) – это логическая связь между событиями, не требующая затрат труда, материальных ресурсов и времени.

Эта работа указывает, что возможность выполнения одной работы непосредственно зависит от результатов другой и продолжительность ее равна нулю (рис. 2).

Действительная работа и ожидание изображаются на сетевом графике сплошной стрелкой, а фиктивная – штриховой. Количественные временные оценки ставят над стрелкой, а количество исполнителей – под стрелкой.

В условиях определённости время выполнения работ детерминированное и определяется на основе нормативов.

Таблица 1.1

Данные для планирования работ по реконструкции

Работа	Продолжительность (ч.)	Непосредственно предшествующие работы	Код работы
А. Разработка проекта реконструкции офиса		-	1-2
Б. Перевод персонала во временное помещение		А	2-5
В. Демонтаж оборудования и отправка во временное помещение		А	2-3
Г. Покупка и доставка материалов для ремонта		А	2-4
Д. Покупка и доставка нового оборудования		Б, В	5-7
Е. Ремонт внутренних помещений		В, Г	6-7
Ж. Высыхание краски		Е	7-8
З. Ремонт здания с внешней стороны		Г	4-9
И. Реализация старого оборудования и монтаж нового		Д, Ж	8-9
К. Перевоз персонала в помещение офиса		З, И	9-10

 

 

 

 

 

Рис. 1. Сетевой график

 

 

Рис. 2. Фиктивная (логическая) работа (5-7)

 

Событие – это момент завершения одной или нескольких работ и может быть моментом начала одной или нескольких следующих работ. Событие обозначается кружком, внутри которого ставится номер события (рис. 3).

 

 

 

Рис. 3. Обозначение событий

 

Событие i, с которого начинается работа, называется предшествующим данной работе. Событие j, которое является результатом производственной работы, называется последующим. Первоначальное событие, отражающее начало выполнения комплекса работ, называется исходным. Событие, отражающее конечную цель комплекса работ и не имеющее выходящих из него работ, называется завершающим. В сетевом графике обычно только одно начальное событие и одно конечное (завершающее). В упорядоченном сетевом графике нумерация событий соответствует порядку очередности их свершения.

 

Правила построения сетевых графиков

 

При создании сложного объекта сетевой график строят по частям, а затем их объединяют (сшивают). Построение и объединение осуществляется по следующим правилам:

1. Сеть строится от исходного события к завершающему, направление стрелок – слева направо.

2. Длина и наклон стрелок (в немасштабном графике) значения не имеют, но все они должны быть однонаправлены – от предшествующего события (с меньшим номером) к последующему событию (с большим номером).

3. В сети не должно быть замкнутых контуров, т.е. цепочек работ, возвращающихся к одному из предшествующих событий или соединяющих событие само с собой (рис. 4).

 

 

Рис. 4. Замкнутый контур

 

4. По возможности не следует допускать пересечения стрелок. Иногда, для того чтобы избежать этого, некоторые события и работы смещаются вверх или вниз (рис.5).

 

 

Рис. 5. Вариант “разворачивания” графика

 

5. Два события могут быть соединены только одной работой. Для изображения параллельных работ вводится промежуточное событие и дополнительная фиктивная работа (рис. 6).

 

Рис. 6. Введение в график фиктивной работы

 

6. В сети не должно быть, кроме одного исходного, висячих - хвостовых событий, т.е. событий, в которые не входит ни одна работа (рис. 7).

 

 

Рис. 7. Хвостовое событие

 

7. В сети не должно быть, кроме одного завершающего, висячих - тупиковых - событий, т.е. событий, из которых не выходит ни одна работа (рис. 8).

 

 

Рис. 8. Тупиковое событие

 

Понятие пути

Полный путь – это любой путь сети, начало которого совпадает с исходным событием, а конец – с завершающим. Самый продолжительный из полных путей… Найдем критический путь для представленной выше сети. Запишем все полные пути…  

Построение графика Ганта

График Ганта (масштабный календарный план-график) строится в прямоугольной системе координат. Каждая работа изображается параллельными оси времени… Определим резервы времени работ. Например, работа 4 – 9 заканчивается на 19-м… Критический путь находим справа налево. Для этого рассмотрим работы (отрезки), конечные события которых совпадают с…

Расчет временных параметров событий

i, j – номер события; I - исходное событие; J - завершающее событие; tPi, tPj - ранний срок свершения события; tПi, tПj - поздний срок свершения события;

Поздний срок свершения завершающего события

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление данного события, не увеличивая при этом срок… Ri = tПi – tРi. (1.6) События критического пути имеют нулевой резерв времени.

Рис. 12. Расчет временных параметров событий

Таблица 1.2

Временные параметры событий

№ события	Сроки свершения события	Резерв события (Ri)
tpi	tni

 

Расчет временных параметров работ

Для иллюстрации расчетов рассмотрим следующее графическое построение (рис. 13).

Ранний срок начала работы t_PНij совпадает с ранним сроком свершения предшествующего работе события t_Pi:

t_PНij = t_Pi. (1.7)

Поздний срок окрнчания работы t_ПОij совпадает с поздним сроком свершения последующего за работой события t_Пj:

t_ПОij = t_Пj. (1.8)

Ранний срок окончания работы t_РОij:

t_РОij = t_Рi + t_ij (1.9)

Поздний срок начала работы t_ПНij:

t_ПНij = t_Пj – t_ij . (1.10)

 

Полный резерв времени работы R_Пij показывает, насколько можно увеличить время выполнения данной работы или насколько можно передвинуть на более поздний срок начало работы, не изменяя окончательного срока выполнения комплекса работ:

R_Пij = t_Пj – t_Рi – t_ij. (1.11)

 

tпо

 

Рис. 13. Временные параметры работ и событий

 

Частный резерв времени работы (R_Чij) – это часть полного резерва, на которую можно увеличить время завершения работы, уложившись в допустимо поздний срок ее окончания:

 

R_Чij = t_nj – t_ni – t_ij , R_Чij = R_Пij – R_i . (1.12)

Свободный резерв времени работы R_Сij – это часть полного резерва, на которую можно увеличить время завершения работы, уложившись в ранний срок свершения ее последующего события:

 

R_Сij = t_Рj – t_Рi – t_ij , R_Сij = R_Пij – R_j . (1.13)

Независимый резерв времени работы R_Нij – это часть полного резерва, которая используется на увеличение продолжительности только данной работы, при этом все предшествующие работы могут заканчиваться в свои поздние сроки, а все последующие – в ранние:

 

R_Нij = t_Рj – t_Пi – t_ij , R_Нij = R_Пij – R_i – R_j . (1.14)

 

Использование независимого резерва не влияет на величину резерва времени других работ.

Частные случаи при расчете резервов:

1. Если на критическом пути лежит событие i, то из выражения (12) следует

R_i = 0; R_Пij = R_Чij .

2. Если на критическом пути лежит событие j, то из выражения (14) следует

R_j = 0; R_Пij = R_Сij .

3. Если на критическом пути лежат и событие i и событие j, но сама работа не принадлежит критическому пути, то для этой работы все резервы равны

 

R_i = 0; R_j = 0; R_Пij = R_Чij = R_Сij = R_Нij.

 

Коэффициент загруженности работы К_З.

 

К_З = . (1.15)

 

Результаты расчета временных параметров работ представлены в табл. 1.3.

 

Таблица 1.3

Временные параметры работ

Код работы i - j	Длительность работы, tij	Сроки работы	Резервы времени	Коэф. загруженности, КЗ
tрн	tро	tпн	tпo	RП	RЧ	RС	RН
1 – 2
2 – 3
2 – 4										0,5
2 – 5										0,13
3 – 5
3 – 6
4 – 6
4 – 9										0,26
5 – 8										0,32
6 – 7
7 – 8
8 – 9
9– 10

 

Для автоматизации расчёта параметров сетевой модели возможно использование программы «Расчёт и оптимизация сетевого графика» из ППП PRIMA. Для этого необходимо ввести коды работ в два смежных столбца Excel, ввести также длительности выполнения работ и количество необходимого ежедневно ресурса, например, трудового – требуемое количество исполнителей.

Результаты расчёта выводятся в табличной форме. Таблица временных параметров работ содержит информацию о кодах и продолжительности работ, а также расчётные значения полного и свободного резервов работ и коэффициента загрузки работ. Для работ критического пути коэффициент загрузки равен единице. Таблица временных параметров событий включает расчётные значения ранних и поздних сроков свершения событий, а также резерва времени событий.

 

 

Рис. 14. Ввод исходных данных в диалоговую форму

 

 

Рис. 15. Расчёт временных параметров работ

 

Рис. 16. Расчёт временных параметров событий

 

После таблиц выводится длительность критического пути и перечень событий, составляющих критический путь.

Оптимизация сетевого графика заключается в перераспределении исполнителей с менее загруженных работ на работы критического пути (если это возможно). Результатом оптимизации становится сокращение длительности критического пути.

При оптимизации сетевого графика используется следующая система уравнений

,

где Т_р – трудоёмкость работы, имеющей резерв времени; Т_к – трудоёмкость работы критического пути; W_р – количество исполнителей работы, имеющей резерв; W_к – количество исполнителей работы критического пути; х – количество исполнителей, переводимых с работы, имеющей резерв на критический путь; t_р – длительность работы, имеющей резерв времени; t_к – длительность работы критического пути; у – время сокращения длительности критического пути и резерва времени работы; R_п – полный резерв времени работы.

 

 

Рис. 17. Оптимизация сетевого графика и данные для

диаграммы использования ресурсов

 

Для построения календарного плана-графика выполнения работ – графика Ганта используется таблица временных параметров работ.

С помощью Мастера диаграмм на шаге 1 необходимо выбрать Линейчатую диаграмму с накоплением, которая позволяет строить горизонтальные отрезки. На шаге 2 указывается, что исходные данные содержатся в столбцах, после чего нужно переключиться на закладку Ряд. Далее следует Добавить Ряд 1, содержащий данные о ранних сроках начала работ, а в качестве Имени ввести слово: Обозначения. Ряд 2 содержит данные о продолжительности работ, а Ряд 3 – о полных резервах работ. На шаге 3 необходимо установить горизонтальные линии сетки, ввести название диаграммы – график Ганта и наименование осей – время и коды работ.

 

 

 

Рис. 18. Построение графика Ганта шаг 1 и шаг 2

 

 

Рис. 19. Построение графика Ганта Ряд 1 и Ряд 2

 

 

Рис. 20. Построение графика Ганта Ряд 3

 

 

Рис. 21. Построение графика Ганта шаг 3 - Линии сетки

 

 

Рис. 22. Построение графика Ганта шаг 3 - Заголовки

 

После нажатия кнопки Готово получаем заготовку графика, которую ещё необходимо отформатировать. Далее, с помощью контекстного меню, вызываемого правой кнопкой мыши следует удалить серый фон диаграммы, установить требуемый размер шрифта надписей и цифр на шкалах, для вывода всех кодов работ установить Число категорий между подписями делений равным единице. Также следует установить Обратный порядок категорий для отображения графика Ганта ступенями сверху вниз.

 

 

Рис. 23. Форматирование оси с кодами работ

 

Рис. 24. Построение графика Ганта – удаление лишних линий

 

Для того чтобы сделать невидимыми синие горизонтальные полосы, соответствующие времени раннего начала работ, следует щелкнуть по любой из них правой кнопкой мыши и вызвать меню Формат рядов данных, в котором выбрать закладку Вид. Установить Границу – невидимую, а Заливку – прозрачную.

Для отображения фиктивных работ с нулевой длительностью можно искусственно установить для них после расчёта при построении диаграммы минимальную длительность, например, равную 0,3. Легенда диаграммы и подписи осей легко передвигаются с помощью мыши.

Диаграммы потребности в ресурсах (исполнителях) строятся на основе расчётных Данных для эпюры использования ресурсов. Если передвинуть время выполнения работ вправо за счёт имеющихся резервов, то можно сгладить пики потребности в ресурсах. Так, на первом графике, соответствующем ранним срокам начала работ, максимальное требуемое число исполнителей – 15, а если работы начинаются в возможно поздние сроки (just in time – JIT) – 10 человек.

 

 

Рис. 25. График Ганта и диаграмма потребности в

ресурсах

Рис. 26. График Ганта и диаграмма потребности в ресурсах JIT

 

Сетевое планирование в условиях неопределённости

В случаях, когда время выполнения работ точно не известно, то есть продолжительность работы является случайной (стохастической) величиной,… Для определения средней (ожидаемой) длительности работ на основе экспертного… 1. Оптимистическая (минимальная) оценка toij ;

Классификация систем массового обслуживания

Первым признаком, позволяющим классифицировать системы массового обслуживания, является поведение требований, поступивших в обслуживающую систему в тот момент, когда все обслуживающие аппараты заняты. Выделяются следующие типы систем:

а) системы с потерями или отказами (если нет свободного аппарата, заявка покидает систему не обслуженной);

б) системы с ожиданием или без потерь (заявки дожидаются обслуживания в очереди);

в) смешанные системы (заявки присоединяются к очереди, если она не больше определенной длины, или покидают очередь не обслуженными, если закончилось допустимое время ожидания).

Второй признак – все системы массового обслуживания могут быть подразделены в зависимости от количества обслуживающих аппаратов на системы с ограниченным (конечным) и с неограниченным числом обслуживающих аппаратов.

Третий признак – СМО подразделяются по числу требований, которые одновременно могут находиться в обслуживающей системе, на системы с ограниченным и неограниченным потоком требований. В замкнутых системах источники требований находятся внутри системы, а в разомкнутых – вне её.

Четвертый признак – СМО могут подразделяться в зависимости от дисциплины обслуживания на системы с упорядоченной очередью, с неупорядоченным (случайным) выбором из очереди и с приоритетом обслуживания.

Расчёт показателей качества функционирования систем массового обслуживания

А. Система обслуживания с потерями (отказами) Вероятность того, что в обслуживающей системе находится точно k требований, т.е. занято k обслуживающих аппаратов:

Характеристика основных разделов и схема

Межотраслевого баланса

При составлении межотраслевого баланса заполняется специальная таблица, которая имеет четыре раздела и отражает движение продукта из одной отрасли в… При составлении межотраслевого баланса предполагается, что все национальное… Для формализованной записи балансовых соотношений введем следующие обозначения:

Основные балансовые соотношения

+ yi = Xi, i = , (3.3) т.е. валовой выпуск отрасли равен сумме промежуточного и конечного продукта. … Второе балансовое соотношение выражает связь между первым и третьим разделами балансовой модели

Экономико-математическая модель межотраслевого

Баланса. Модель Леонтьева

+ yi = Xi, i = . Предположим, что межотраслевой поток продукции, идущей из i–й отрасли в j–ю,…  

Методы отыскания вектора валовых выпусков

а) Точный метод отыскания вектора валовых выпусков Х. Запишем модель Леонтьева в матричном виде  

Отыскание вектора конечной продукции

Для решения второй задачи межотраслевого баланса запишем модель Леонтьева в матричном виде

АХ + Y = Х,

откуда получим выражение (3.9)

Y = (Е – А) × Х.

 

Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А, вектор валовой продукции – Х:

А = , Х =

Определить вектор конечной продукции (рис. 54).

 

 

Рис. 54. Расчёт вектора конечной продукции

 

Смешанная задача межотраслевого баланса

Для решения третьей задачи баланса все отрасли разделим на две группы. К первой группе отнесем отрасли, для которых задан конечный продукт. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = . Ко второй группе отнесем отрасли, для которых задан валовой выпуск. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = . Тогда вектор валовых выпусков можно разделить на два подвектора

Х = , (3.11)

где Х₁ – искомый подвектор с элементами Х_i(i = );

- заданный подвектор с элементами Х_i(i = ).

Аналогично вектор конечного продукта можно разделить на два подвектора

Y = , (3.12)

где – подвектор с известными значениями Y_i(i = );

Y₂ - подвектор с неизвестными значениями

Y_i(i = ).

Матрица А разбивается на четыре подматрицы

А = , (3.13)

где А₁₁ – подматрица с элементами а_ij (i, j = );

А₁₂ – подматрица с элементами а_ij (i = ; j = );

А₂₁ – подматрица с элементами а_ij (i = ; j = );

А₂₂ – подматрица с элементами а_ij (i, j = ).

Для нахождения неизвестных подвекторов Х₁ и Y₂, зная А, , , представим модель Леонтьева в следующем виде:

× + = . (3.14)

Раскроем это выражение

А₁₁Х₁+А₁₂+= Х₁ (3.15)

А₂₁Х₁+А₂₂+Y₂= .

 

Из первого уравнения этой системы найдем

Х₁ =(Е – А₁₁)^-1 × (А₁₂+). (3.16)

Из второго уравнения найдем

Y₂ =(Е – А₂₂) ×- А₂₁ Х₁ . (3.17)

Найдя из выражения (3.16) Х₁ и подставив в выражение (3.17), получим Y₂.

Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А:

А = .

Конечный продукт первой отрасли равен 8 ед., объем производства второй отрасли равен 10 ед., а третьей – 15 ед. Определить объем производства первой отрасли и конечный продукт второй и третьей.

Решение. Согласно изложенному ранее первая отрасль входит в первую группу, а вторая и третья – во вторую группу, тогда

Х = , , Y = ,

А₁₁ = (0) А₁₂ = (0,1 0,2)

А₂₁ = А₂₂ = .

Из формулы (16) найдем

Х₁ = (1 - 0)^-1 × [(0,1 0,2) × + 8] = 12

 

Из формулы (3.17) найдем

Y₂ = × - × 12 = .

Таким образом, валовой выпуск первой отрасли равен 12 ед., конечный продукт второй и третьей равен 3,1 ед. и 9,8 ед. соответственно.

Коэффициенты полных материальных затрат

Запишем модель в матричной форме

АХ + Y = Х .

Отсюда вектор валовых выпусков

Х = (Е – А)^-1 × Y.

Обозначим матрицу (Е – А)^-1 через В, а ее элементы через b_ij (i,j = ). Тогда

Х = В × Y . (3.18)

Коэффициенты полных материальных затрат b_ij показывают общую потребность в продукции i–й отрасли, которая обеспечивает выпуск единицы конечной продукции j–й отрасли.

Для определения матрицы коэффициентов полных материальных затрат существуют две формулы: точная и приближенная.

Формула для точного расчета

 

В = (Е – А)^-1 . (3.19)

 

Формула для приближенного расчета получается при разложении матрицы (Е – А)^-1 в ряд Тейлора

 

В = Е + А + А² + … + А^k + … (3.20)

Коэффициенты косвенных затрат

Рис. 55. Пример формирования косвенных затрат   Коэффициенты косвенных затрат характеризуют количество продукции i–й отрасли, которая направляется в j–ю отрасль для…

Тема 4. МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Раздел математических методов, в котором рассматриваются способы решения задач на нахождение экстремума функции цели при ограничении области… Общая задача математического программирования имеет вид: определить экстремум функции

Фирма выпускает четыре вида персональных компьютеров

  Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить фирме, чтобы… Решение. Обозначим через х1 – количество изделий вида a, которое должна выпустить фирма; х2 – количество изделий вида…

Выражения (4.1), (4.2) и (4.3) составляют экономико-математическую модель задачи линейного программирования.

Хj – количество выпускаемых изделий j-го типа, j = ; n – количество типов изделий; аij – затраты времени на единицу j-го типа изделия в i-м цехе, i = ;

Условия неотрицательности получаемого решения

    3. Задача оптимального распределения заданий

Условие неотрицательности решения

  4. Задача составления оптимальной смеси (задача диеты) Для производства продукции используется n различных материалов, включающих в себя ряд различных компонентов…

Условие неотрицательности решения

    5. Распределительная задача: о размещении парка оборудования по участкам производства

Условие неотрицательности решения

x_ij ³ 0, (i = ; j = ).

Общая задача линейного программирования

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении таких значений неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, для которых функция цели

f(x) = C₁ × x₁ + C₂ × x₂ + …+ C_n × x_n ® extremum

принимает экстремальное значение и которые удовлетворяют ограничениям

а₁₁ × x₁ + а₁₂ × x₂ +…+ а_1n × x_n £ b₁,

а₂₁ × x₁ + а₂₂ × x₂ + … + а_2n × x_n £ b₂,

…………………………………….

а_k1 × x₁ + а_k2 × x₂ + … + а_kn × x_n £ b_k,

а_k+1,1 × x₁ + а_k+1,2 × x₂ + … + а_k+1,n × x_n = b_k+1,

……………………………………..

а_m1 × x₁ + а_m2 × x₂ + … + а_mn × x_mn = b_m,

 

или в более компактном виде

f(x) = ® extremum, (4.4)

£ b_i; (i = ), (4.5)

= b_i; (i = ), (4.6)

Х_j ³ 0; (j = ; S £ n), (4.7)

где а_ij, b_i, c _j - заданные постоянные величины.

Функция (4.4) называется целевой функцией задачи (4.4) – (4.7), а условия (4.5) – (4.7) – ограничениями данной задачи.

Совокупность значений переменных Х₁, Х₂, …, Х_n, удовлетворяющих условиям задачи (4.5) – (4.7), называется допустимым решением, или планом. План X* = (,, …), при котором целевая функция задачи принимает экстремальное значение, называется оптимальным.

 

Стандартная (симметричная) задача

Линейного программирования

Стандартной задачей линейного программирования называют задачу, в которой требуется найти такие значения Х₁, Х₂, …, Х_n, при которых функция цели принимает максимальное значение

f(x) = ® max (4.8)

и которые удовлетворяют ограничениям

£ b_i; (i = ), (4.9)

Х_j ³ 0; (j = ). (4.10)

Каноническая (основная) задача

Линейного программирования

Канонической задачей называется задача, в которой требуется найти такой набор переменных Х₁, Х₂, …, Х_n, который позволяет максимизировать функцию цели

f(x) = ® max (4.11)

и удовлетворяет системе ограничений

= b_i; (i = ), (4.12)

Х_j ³ 0; (j = ). (4.13)

 

Представление задачи линейного программирования в канонической форме

f(x) = C1 Х1 + C2Х2 + …+ CnХn ® max при ограничениях а11Х1 + а12Х2 + …+ а1nХn £ b1,

Двойственность в задачах линейного

Программирования. Прямая и двойственная задачи

Допустим, прямая задача состоит в нахождении максимального значения функции: f(x) = ® max, (4.17) £ bi; (i = ), (4.18)

Связь между решениями прямой и

Двойственной задачи

Лемма 1. Если Х – некоторый план исходной задачи 4.17 – 4.20, а Y – произвольный план двойственной задачи 4.21 – 4.24, то значение целевой функции исходной задачи при плане Х всегда не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при плане Y, т. е.

f(x) £ F(Y).

Лемма 2. Если f(x*) = F(Y*) для некоторых планов Х* и Y* задач 1 – 4 и 5 – 8, то Х* - оптимальный план исходной задачи, Y* - оптимальный план двойственной задачи.

Теорема двойственности. Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план, и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т.е.

max f(x) = min F(Y).

Если целевая функция одной из пары двойственной задач не ограничена (для f(x) – сверху, для F(Y) – снизу), то другая задача вообще плана не имеет.

 

Экономическая интерпретация двойственных задач

Таблица 4.6 Вид сырья Нормы затрат сырья, кг, на ед. продукции Запасы сырья, кг A B C …   Определить план выпуска продукции, при котором обеспечивается максимальный доход, и дать оценку каждому из видов…

Решение задач линейного программирования

Симплекс-методом

Таким образом, чтобы найти решение задачи линейного программирования, достаточно перебрать лишь планы, соответствующие вершинам многогранника… Симплекс-метод позволяет осуществить упорядоченный, направленный перебор… Симплекс-метод применяется к задаче, записанной в канонической форме (используем одну из двойственных задач линейного…

Нахождение первоначального опорного плана

Метод северо-западного угла. Пусть условие транспортной задачи задано в следующей таблице.   Таблица 5.1 Пункты отправления Пункты назначения Предложение В1 В2 …

Циклы пересчёта

Пусть первоначальный опорный план задан таблицей Таблица 5.5 Пункты отправления Пункты назначения … Выберем одну из свободных клеток, например (4,1), и поместим в нее некоторую положительную величину перевозки q.…

Открытая транспортная задача

Если не соблюдается баланс предложения и спроса, то есть

¹,

то такая задача называется открытой. Для решения такой задачи, если общее предложение превышает общий спрос, то есть

>,

необходимо ввести в модель фиктивный пункт потребления (В_n+1) в n + 1-м столбце матрицы транспортной задачи. При этом стоимости перевозки для фиктивного пункта потребления равны нулю:

C_i,n+1 = 0; i = .

Потребность в грузе фиктивного пункта назначения равна разности предложения и спроса.

Таблица 5.8

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы (предложение)
В1	…	Вj	…	Вn	(Вn+1)
А1	С11		C1j		C1n		а1
…		…		…
Аi	Сi1		Сij		Сin		аi
…		…		…
Аm	Сm1		Сmj		Сmn		аm
Потребности (спрос)	b1	…	bj	…	bn	(bn+1 = Sаi - Sbj)

 

Если величина суммарного спроса превышает суммарное предложение, то есть

<,

необходимо ввести в модель фиктивный пункт отправления грузов (А_m+1) в m + 1-ю строку матрицы транспортной задачи. При этом стоимости перевозки от фиктивного пункта отправления равны нулю:

C_m+1,j = 0; j = .

 

Предложение фиктивного пункта отправления равно разности суммы потребностей и запасов грузов.

 

Таблица 5.9

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы (предложение)
В1	…	Вj	…	Вn
А1	С11		C1j		C1n	а1
…		…		…
Аi	Сi1		Сij		Сin	аi
…		…		…
Аm	Сm1		Сmj		Сmn	аm
(Аm+1)						(am+1 = Sbj - Sаi)
Потребности (спрос)	b1	…	bj	…	bn	__

Определение оптимального плана транспортных

Задач, имеющих дополнительные условия

2. Если из пункта отправления Аi в пункт назначения Вj требуется перевезти определенное количество грузов dij, тогда в соответствующей клетке… 3. Если необходимо решить транспортную задачу на максимум функции цели, тогда… исходная матрица стоимости перевозок C = ;

Распределительный метод решения

Транспортной задачи

D41 = 6 – 5 + 4 – 3 + 1 – 2 = 1. Если все Dij неотрицательны (Dij ³ 0), то задача решена, т.е. найден… Допустим, есть хотя бы одно отрицательное значение Dij, тогда среди отрицательных Dij выбираем наименьшее и для этой…

Рис. 81. Продолжение

 

Этапы метода потенциалов:

1. Найти первоначальный опорный план. Число заполненных клеток равно m + n – 1.

2. Найти потенциалы U_i и V_j. Составить для базисных клеток m + n – 1 уравнений с m + n неизвестными.

3. Для каждой свободной клетки найти значения D_ij = C_ij –– (U_i + V_j). Если среди значений D_ij нет отрицательных, то полученный план транспортной задачи оптимальный. Если же такие имеются, то перейти к новому опорному плану.

4. Среди отрицательных D_ij выбрать наибольшее по модулю отрицательное число D_ij. Построить для этой свободной клетки цикл пересчета и произвести сдвиг по циклу пересчета.

5. Полученный опорный план проверить на оптимальность. Если он не оптимален, то перейти к п. 2.

 

 

Тема 6. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

 

Любые промышленные предприятия для успешного функционирования и выполнения установленных заданий в срок должны иметь запасы различных видов сырья, материалов, топлива. Величина этих запасов в процессе производства не остается неизменной, а колеблется между максимальным и минимальным уровнем.

Необходимость поставок сырья и производственного оборудования, удовлетворения запросов потребителей и создания разумного резерва запасных частей ставит задачи, которые можно различать по характеру спроса. Спрос может быть: детерминированным (т.е. предсказуемым с определенной точностью); случайным, но статистически устойчивым; случайным, но статистически неустойчивым (сезонные колебания); неизвестным.

Экономическая функция, оптимум которой отыскивается для случайного спроса, часто определяется как математическое ожидание общих затрат.

Объём производственных запасов различных ресурсов зависит от действия многих факторов, воздействие которых имеет противоположную направленность. Одни факторы способствуют увеличению запасов, другие - напротив, их сокращению. Поэтому величина запасов может оказывать значительное влияние на технико-экономические показатели деятельности предприятия. Так, увеличение запасов сокращает транспортные затраты по поставке данного вида ресурса, но увеличивает затраты по его хранению, требует больших складских помещений, повышает потребность предприятия в оборотных средствах. Но, с другой стороны, увеличение запасов способствует более ритмичной работе предприятия, снижает вероятность срыва выполнения производственного задания из-за сбоев в функционировании материально-технической базы. Поэтому в каждой ситуации определяется оптимальная величина производственного запаса какого-либо ресурса, достижение которого обеспечивает наилучшие технико-экономические показатели деятельности предприятия.

В задачах управления запасами рассматривают следующие факторы:

1) спрос на определенную продукцию, который либо является случайной во времени величиной, либо известен и определен;

2) наличие запаса этой продукции для удовлетворения спроса, его пополнение и восстановление; пополнение может быть нерегулярным, периодическим или осуществляться через некоторые интервалы времени;

3) затраты на ассигнования, страхование, хранение, а также убытки из-за неудовлетворенного спроса образуют экономическую функцию, которую нужно оптимизировать;

4) ограничения, определяемые факторами, связанными с задачей запасов.

Основные понятия теории управления запасами включают.

Издержки выполнения заказа (организационные издержи) - накладные расходы, связанные с оформлением заказа и доставкой. В промышленном производстве такими издержками являются затраты на переналадку оборудования и подготовительные операции.

Издержки хранения - расходы, связанные с физическим содержанием товаров на складе, плюс возможные проценты на капитал, вложенный в запасы. Они могут возникать из-за амортизации в процессе хранения (изделия могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т.д.). Обычно они выражены в абсолютных единицах или, в процентах от закупочной цены и связаны с определенным промежутком времени.

Упущенная прибыль (издержки дефицита) - издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, возникающим из-за невозможности поставок вследствие отсутствия продукта на складе. Это может быть денежный штраф или ущерб, не осязаемый непосредственно (например, ухудшение бизнеса в будущем и потеря потребителей).

Совокупные издержки за период представляют собой сумму издержек заказа, издержек хранения и упущенной прибыли. Иногда к ним прибавляются издержки на закупку товара.

Срок выполнения заказа - время с момента заказа до момента его выполнения.

Точка восстановления (точка заказа) - уровень запаса, при котором делается новый заказ.

Количество товара, поставляемое на склад, называют размером партии.

 

Предположим, что интервал времени от заключения договора на пополнение до получения продукции равен нулю. В этом случае различают два основных метода простого уравнения запасами. Первый называется периодическим методом. Обозначим через Т период времени, в конце которого систематически производится пополнение запасов до максимально возможного уровня V_max. Тогда кривая изменения запаса имеет вид

Этот метод имеет недостаток, связанный с риском исчерпания запасов, что может повлечь за собой дорогостоящее управление, но его преимуществом является автоматизм.

Другой метод можно назвать релаксационным. Здесь количество вновь поступающей продукции постоянно, и равно разности между максимальным V_max и минимальным V_min уровнями запаса, но интервалы времени Т₁,Т₂,Т₃,…,Т_n не равны друг другу. В этом случае кривая изменения запаса имеет вид

 

 

В этой модели нет риска исчерпания запасов, управление более дешевое, но ее труднее автоматизировать.

Допустим, что задержка в пополнении (интервал времени между заключением договора и получением продукции) не зависит от объема получаемой продукции, т.е. постоянна и равна t. Метод управления запасами, при котором пополнение заказывается, когда запас достигает некоторой критической величины или уровня пополнения, называют «системой двух складов», или «S-s методом». Кривая изменения запаса для такого случая имеет вид

К затратам, связанным с организацией заказа и его реализацией, относятся расходы, производимые в связи с пополнением запасов начиная с поиска поставщика и оформления заказа и кончая оплатой всех услуг по доставке продукции на склад (расходы по размещению заказов, заключению договоров, расходы на связь, расходы по разъездам агентов снабжения, транспортные расходы, оплата стоимости погрузочно-разгрузочных операций и т.д.). Считается, что часть расходов, связанная с организацией заказов, зависит не от размера заказа, а от их количества за год.

Расходы по хранению запасов – сложный показатель, так как хранение запасов вызывает не только затраты, связанные с физическим присутствием продукции на складе, но и затраты вследствие вложения средств в запасы (организация хранения, устаревание, порча и др.).

Потери из-за дефицита имеют место в том случае, когда снабженческо-сбытовая организация несет материальную ответственность за то, что не может удовлетворить потребительский спрос из-за отсутствия запасов.

Модель 1. Допустим, фирма должна поставлять своим клиентам S изделий равномерно в течение интервала времени Т. Следовательно, спрос детерминированный. Нехватка товаров не допускается, т.е. штраф при неудовлетворительном спросе бесконечно велик: С_Н ® ¥. Переменные затраты складываются из следующих элементов: С_Х – стоимость хранения одного изделия в единицу времени; С₃ – затраты, связанные с организацией заказа (стоимость заказа).

Необходимо решить, как часто нужно организовывать заказ партий на склад фирмы и каким должен быть размер каждой партии.

Если V – размер партии заказа, t₃ - интервал времени между заказами партий, а S – полный спрос за время Т, то – число партий за время Т и

t₃ = = . (6.1)

Если интервал t₃ начинается, когда на складе имеется V изделий и заканчивается при отсутствии изделий, то V/2 – средний запас в течение t₃, а затраты на хранение в интервале t₃ составят V/2 × C_X × t₃.

Полная стоимость Q_П создания запасов за время Т равна сумме стоимости хранения и стоимости заказа, умноженных на общее число партий за это время:

Q_П = (t₃ + С₃) , (6.2)

подставляя выражение для t_Z, получая:

Q_П = (×+ С_Z) = + . (6.3)

С увеличение размера партий первое слагаемое этого выражения вырастает, а второе убывает. Суммируя эти зависимости, можно определить оптимальный размер партии заказа (рис. 82).

Рис. 82. Определение оптимального размера партии заказа

 

Решение задачи управления запасами состоит в определении такого оптимального размера партии заказа V₀, при котором суммарная стоимость была бы наименьшей, т.е. нахождении экстремума функции общих ожидаемых расходов Q_П.

Продифференцируем последнее выражение по V, получим

= – . (6.4)

Если вторая производная положительна, то в точке перегиба функция имеет минимум, получим

= 2> 0, следовательно, при V =V₀ имеем минимум функции.

Поскольку в точке экстремума первая производная должна быть равна нулю, то из условия = 0 найдем

V₀ = . (6.5)

Подставим это выражение в (6.1), получим оптимальное время между заказами

t₃₀ = = =. (6.6)

Точка восстановления запаса (точка заказа)

, (6.7)

где τ – время выполнения заказа.

Оптимальное число заказов (партий поставок) за период Т

N = S / V (6.8)

Подставим выражение (6.5) в (6.3), получим оптимальную (минимальную) величину затрат

Q₀ =+=×+=. (6.9)

Пример. Фирма должна поставлять своим заказчикам 58000 единиц продукции в год. Поскольку получаемая продукция используется непосредственно на сборочной линии и заказчики не имеют для нее специальных складов, фирма-поставщик должна ежедневно отгружать дневную норму. В случае нарушения поставок фирма-поставщик рискует потерять заказ, поэтому нехватка продукции недопустима и штраф за это можно считать бесконечно большим. Хранение единицы продукции в месяц стоит 3 ден.ед. Стоимость заказа одной партии продукции составляет 420 ден.ед.

Требуется определить оптимальный размер партии заказа V₀, оптимальный период времени между заказами t₃₀ и вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат Q₀.

В данном случае Т = 12 месяцев, S = 58000 единиц, C_X = 3 ден.ед./мес, C₃ = 420 ден.ед./партия. Время поставки заказа τ = 3 дн. (0,1 мес.). Подставим эти значения в выражения (6.5) - (6.9):

V₀ = = 1163 ед.,

t₃₀ = = 0,24 месяца ≈ 1 нед.,

Vтз = 58000 × 0,1 / 12 ≈ 483 ед., N = 58000 / 1163 ≈ 50,

 

Q₀ = = 41880 ден.ед./год.

 

Модель 2. Допустим, что превышение спроса над запасами допускается, т.е. штраф за нехватку продукции конечный. Z₀ – оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени.

Кривая изменения запасов будет иметь вид

В этом случае интервал времени t₃ может состоять из t_X – времени, когда запас есть, и t_H – времени отсутствия запасов. На складе фирмы–поставщика до получения следующей партии пополнения запасов t_X = , t_H = , где Z – уровень запаса к началу периода.

Средний запас в течение t_X равен , затраты на хранение за время t_X равны × C_X × t_X. Средняя нехватка за время t_H равна , а штраф за время t_H составляет × C_H × t_H.

Полные расходы за время Т равны сумме затрат на хранение, штрафа за нехватку и стоимости заказа

Q_П = (× C_X × t_X + × C_H × t_H + С₃) × . (6.10)

Подставляя сюда значения t_X, t_H и t₃ = TV/S, получая

Q_П = . (6.11)

Из уравнения (6.11) можно найти оптимальные значения для V и Z:

V₀ = × ; (6.12)

Z₀ = × ; (6.13)

t₃₀ = × ; (6.14)

Q₀ = × . (6.15)

Пример. Пусть сохраняются все условия предыдущего примера, а штраф за нехватку C_H = 4 ден.ед. за одно изделие в месяц. Используя выражения (6.12) - (6.15), получим

V₀ = × = 1540 ед.,

Z₀ = × = 879 ед.,

t₃₀ = × = 0,317 месяцев ≈ 1 декада,

Q₀ = × = 31658 ден.ед.

 

Для автоматизации расчёта параметров модели управления запасами возможно использование программы «Управление запасами» из ППП PRIMA (рис. 83). Для этого необходимо ввести объёмы поставок и интервалы между поставками в столбцы таблицы Excel (рис. 84).

 

Рис. 83. Заполнение диалоговой формы Управление запасами

При заполнении диалоговой формы программы Управление запасами необходимо ввести длительность расчётного периода времени (1 год), расход ресурса за данный период (5300 тонн), диапазоны транспортно-заготовительных расходов, затрат на хранение продукции, потерь от дефицита.

Для расчёта страхового запаса необходимо ввести число месяцев поставок и с помощью мышки ввести адреса ячеек, содержащих объёмы поставок и интервалы поставок.

Результаты решения задачи представлены на рис. 84. График изменения запаса и величины страхового запаса представлен на рис. 85.

 

 

Рис. 84. Расчёт величины запасов в ППП PRIMA

Рис. 85. Графики изменения запаса и страхового запаса

 

Модель 3. Модель производственных поставок. Фирма производит продукт самостоятельно, хранит его на складе и расходует с постоянным темпом. Если темп производства выше темпа спроса, то излишки продукта накапливаются на складе. Когда количество продукта на складе достигает максимального значения, производство прекращается и продукт расходуется со склада с постоянным темпом. Когда запас на складе достигает точки восстановления, производство возобновляется. При этом оптимальным решением задачи будет такой размер заказа, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек на возобновление (запуск) производства.

Динамика изменения количества продукта на складе показана на рис.86, где tg α = l – m, tg β = m. Интенсивность производства (поставок) – l, интенсивность спроса – m = S / T.

Рис. 86. Модель производственных поставок

 

 

V₀ = × ×; (6.16)

Z₀ = ××; (6.17)

t₃₀ = ××; (6.18)

Q₀ = ××. (6.19)

Число партий поставок в течение периода Т:

N = S / Vo = m×T /Vo (6.20)

Продолжительность поставки:

τ = Vo /l (6.21)

Продолжительность цикла пополнения запаса:

t_3о = T / N = Vo /m (6.22)

Максимальный уровень запасов:

Zo = (l – m)τ (6.23)

Средний уровень запасов:

Zcp = Zo /2 (6.24)

Точка заказа (зависит от времени, необходимого для запуска производства t_п):

R = m × t_п (6.25)

 

Пример 1. Производственное оборудование позволяет изготавливать изделия с производительностью 3600 ед. в год. Заготовки для производства изделий изготавливаются на другом оборудовании с производительностью 12000 ед. в год. Оставшиеся необработанными заготовки образуют запас. Издержки хранения запаса составляют 0,5 ден.ед. за одну заготовку в год. Стоимость производственного цикла на оборудовании для производства заготовок равна 800 ден.ед. Определить оптимальный размер партии заготовок и периодичность поставок, учитывая, что дефицит недопустим (Сх/Сн ≈ 0).

заготовок

 

t₃₀= V₀/(S/T) = 4056,74/3600 = 1,127 года.

 

Пример 2. Интенсивность равномерного спроса выпускаемых фирмой mp3-плееров составляет m=2000 шт. в год. Организационные издержки равны Cз=20 тыс. р. Издержки хранения равны Сх=0,1 тыс. р. в расчете на один mp3-плеер в год. Запасы на складе пополняются со скоростью l=4000 mp3-плееров в год. Производственная линия начинает действовать, как только уровень запасов на складе становится равным нулю, и продолжает работу до тех пор, пока не будет произведено Vo mp3-плееров.

Найти размер партии, который минимизирует все затраты. Определить число поставок в течение года, время, в течение которого продолжается поставка, продолжительность цикла, максимальный уровень запасов и средний уровень запасов при условии, что размер поставки оптимален.

Решение. Оптимальный размер поставки:

Максимальный уровень запасов:

= 633

Издержки:

= 63,25

Число партий в течение года:

N = 2000 / 1265 » 1,6 поставки,

Продолжительность поставки:

t = 1265 / 4000 » 115 дн.,

Продолжительность цикла:

t_3о = 365 / 1,6 = 1265 / 2000 » 230 дн.

Средний уровень запасов:

Zcp = 317

Таким образом, за каждую поставку необходимо доставлять на склад 1265 mp3-плееров, оптимальное число поставок составляет 1,6, продолжительность поставки - 115 дней, продолжительность цикла - 230 дней.

 

 

Тема 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

Основные понятия теории игр. При решении задач в области экономики и управления производством в условиях неполноты и неточности информации возможны ситуации, когда необходимо принятие решений в условиях риска и неопределенности.

Предметом изучения теории игр являются ситуации, когда отсутствует полнота информации, а аппарат теории игр предназначен для выбора оптимальных решений в условиях неопределенности. Методы теории игр разработаны применительно к специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников многократно повторяющегося конфликта. Под конфликтными ситуациями понимается положение, когда сталкиваются интересы двух и более сторон, причем выигрыш зависит от того, как поведут себя другие стороны. Математический анализ конфликта возможен при построении математической модели конфликта. Такая модель называется игрой. От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам, которые участникам конфликта известны и строго выполняются. Игра называется парной, если в ней участвуют две стороны. Если в парной игре выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, то такая парная игра называется игрой с нулевой суммой. Конечной игрой называется игра с конечным числом стратегий. Стратегией называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действия при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Ходы бывают личные и случайные. При случайном ходе – выбор стратегии случайный. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает ему максимальный средний выигрыш или минимальный средний проигрыш.

 

Матричные игры

Тогда мы можем привести игру к матричной форме, т.е. составить матрицу, которая называется платежной матрицей, или матрицей игры:       В1 В2 … Вj … Вn   А1 …

Игра в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не имеет седловой точки, то если игрок будет пользоваться смешанными стратегиями, т.е. при каждом ходе менять стратегию… Рассмотрим платежную матрицу (7.1). Пусть игрок А использует чистые стратегии… Тогда набор SA = (p1, p2, … pi,…pm) называется смешанной стратегией игрока А, а набор SB = (q1, q2, … qj,… qn) -…

Тема 8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР.

  В рассмотренных случаях оба игрока действовали наилучшим для себя способом.… Под термином «природа» будем понимать комплекс внешних обстоятельств, при которых приходится принимать решения. Игры с…

Критерии выбора стратегии

Критерий Байеса используется, если в результате исследований известны вероятности всех состояний «природы» (qj). При этом, если учтены все из n… = 1. В этом случае в качестве показателя, который необходимо максимизировать, берется среднее значение выигрыша

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В учебном пособии представлены основные разделы экономико-математического моделирования, необходимые экономистам и менеджерам (руководителям и… При изложении материала используется компьютерно-ориентированный подход с…  

Библиографический Список

1. Амелин С.В. Методы и модели в экономике: конспект лекций. / С.В. Амелин. - Воронеж: Воронежский государственный технический университет, 2001, 90… 2. Амелин С.В. Методы и модели в экономике: Учеб. пособие. / С.В. Амелин. -… 3. Акулич И.Л. Экономико-математические методы и модели. Компьютерные технологии решения: Учеб. пособие / И.Л. Акулич,…

Оглавление

 

Введение………………………………………….……………3

 

Тема 1. Сетевые модели и методы планирования

И управления……………………………………...…….5

 

Тема 2. Элементы теории массового обслуживания………. 37

 

Тема 3. Модель межотраслевого баланса………………...… 52

Тема 4. Модели линейного программирования……………. 70

 

Тема 5. Транспортная задача ……………….……………… 105

Тема 6. Модели уравнения запасами………………….……. 134

 

Тема 7. Элементы теории игр ………………………..……...149

Тема 8. Элементы теории статистических игр.

Игры с «природой»…………………………..………...167

 

Заключение………………...…………………………………...177

 

Библиографический список..……………………………….....178

 

 

Учебное издание

 

Амелин Станислав Витальевич

 

 

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

 

Часть 2

 

В авторской редакции

 

 

Подписано в печать 27.06.2012.

Формат 60х84/16. Бумага для множительных аппаратов.

Усл. печ. л. 7,0. Уч.-изд. л. 6,2. Тираж 250 экз.

Заказ № .

 

 

ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”

394026 Воронеж, Московский просп., 14