Расчёт показателей качества функционирования систем массового обслуживания

Чтобы улучшить работу СМО путем изменения ее организации, необходимо рассчитать показатели качества её функционирования при существующем варианте организации и при других возможных вариантах и на основе этих расчетов принять решение.

А. Система обслуживания с потерями (отказами)

Вероятность того, что в обслуживающей системе находится точно k требований, т.е. занято k обслуживающих аппаратов:

Рk = Р0 , (2.8)

где k – число требований в системе (k = 1, 2, 3, …, n); n – число обслуживающих аппаратов; Р0 – вероятность того, что в системе нет ни одного требования.

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны (простаивают):

Р0 = ()-1. (2.9)

Вероятность отказа в обслуживании. Отказ происходит в случае, когда все обслуживающие аппараты заняты. Тогда вероятность отказа равна вероятности того, что все аппараты заняты, или вероятности того, что в системе находится ровно n требований:

Ротказа = Pn = ()-1. (2.10)

Относительная пропускная способность и вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена

Q = Pобс = 1 – Pотк = 1 – Pn . (2.11)

 

Абсолютная пропускная способность и интенсивность выходящего потока обслуженных заявок

A = l× Q = l× (1 – Pn). (2.12)

 

Степень загрузки системы характеризуется средним числом занятых обслуживающих аппаратов

М = = a× (1 – Pn). (2.13)

Коэффициент загрузки обслуживающего аппарата

Кзаг = М / n . (2.14)

Пример. В механическом цехе на одном участке работают 3 контролёра. Если деталь поступает в ОТК, когда контролёры заняты, она уходит на склад готовой продукции, не ожидая контроля. Известно, что среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение 1 ч. равно 24, а среднее время обслуживания равно 5 мин. Какова вероятность того, что деталь не будет проконтролирована и насколько будут загружены контролёры работой

Решение. n = 3, l = 24, = 5 мин = ч.,

n = = 12, a = = = 2, n ³ a.

Ротказа = = + )-1 =

= × (1+ 2 + 2 + )-1 = × ()-1 = = 0,21.

Вероятность отказа 0,21 означает, что из 100 деталей в среднем ОТК пройдет 79 деталей и не пройдет 21 деталь.

Определим степень загрузки контролёров

М = = 0 × Р0 + 1 × Р1 + 2 × Р2 + 3 × Р3 .

Расчеты представлены в следующей таблице.

Таблица 2.1

Число занятых контролеров Рk/Ро= Рk = × Р0 k × Рk
0,16
0,32 0,32
0,32 0,64
4/3 0,21 0,63
S 19/3 » 1 1,59

 

Р0 = ()-1 = 0,16;

М = 1,59 означает, что полностью занято более полутора контролёров.

Коэффициент загрузки одного контролёра

Кзаг = = 0,53,

т.е. каждый контролёр в среднем занят более половины дня.

 

Для автоматизации расчёта характеристик системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП PRIMA (рис. 46).

 

 

Рис. 46. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму

 

Выбор модели СМО осуществляется с помощью закладки Параметры. Для этого необходимо выделить требуемый вид модели и нажать кнопку Выбор (рис. 47). Исходными данными для многоканальной системы массового обслуживания с отказами являются: интенсивность входного потока l, интенсивность обслуживания n и число каналов обслуживания n (рис. 46). Результаты расчётов характеристик СМО с отказами в ППП PRIMA представлены на рис. 48.

 

 

Рис. 47. Выбор модели СМО

 

 

 

Рис. 48. Результаты расчётов характеристик СМО с отказами

Б. Система обслуживания с ожиданием или без потерь

(замкнутая система массового обслуживания)

Вероятность того, что в системе занято k обслуживающих аппаратов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда очереди нет:

Рk = × ak × Р0, (0 £ k £ n), (2.15)

где k– число требований; n – число обслуживающих аппаратов; m – наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживаемой системе одновременно.

Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда есть очередь:

Рk = ×ak × Р0, (n < k £ m). (2.16)

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:

Р0 = (×ak + × ak)-1. (2.17)

 

Введем обозначения для краткой записи () и (), тогда

Р0 = (+ )-1. (2.18)

Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания, т.е. средняя длина очереди

М1 = × Рk. (2.19)

Коэффициент простоя обслуживаемого требования в ожидании обслуживания

К1 = . (2.20)

Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, т.е. в очереди и в обслуживании

М2 = × Рk. (2.21)

Коэффициент простоя обслуживаемого требования в обслуживающей системе

К2 = . (2.22)

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов

М3 = × Рk. (2.23)

Коэффициент простоя обслуживающего аппарата

К3 = . (2.24)

Пример. Два рабочих обслуживают группу из 9 станков. В среднем каждый станок останавливается один раз в час. Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 6 мин. Определить основные характеристики эффективности функционирования системы массового обслуживания.

Решение. n = 2, m = 9, l = 1, = 6 мин = 0,1 ч.,

n = = 10, a = = 0,1.

В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:

k = 0 – все станки работают, очереди нет;

k = 1 – один станок обслуживается, очереди нет;

k = 2 – два станка обслуживаются, очереди нет;

k = 3 – два станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;

…………………………..………………………………

k = 9 – два станка обслуживаются, семь в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.

Этим состояниям системы соответствуют вероятности:

Р0, Р1, Р2, Р3, …, Р9.

Определим значения для случая, когда очереди нет

(0 £ k £ 2):

b0 = × 0,1° = 1; b1 = × 0,11 = 0,9; b2 = × 0,12 = 0,36.

Определим значения для случая, когда очередь есть

(3 £ k £ 9):

b3 = × 0,13 = 0,126; … b9=× 0,19 = 0,0000014175.

Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:

Р0 = (2,43545)-1 = 0,4106.

Среднее число станков, стоящих в очереди:

М1 = × Рk = 0,098.

Это означает, что в среднем из 9 станков 0,098 простаивают в очереди на обслуживание.

Коэффициент простоя станка в очереди

К1 = = 0,011.

Это означает, что в среднем каждый станок 1,1 % времени простаивает в очереди.

Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании)

М2 = × Рk = 0,907.

Это означает, что в среднем 95 % рабочего времени 1 станок из 9 не будет работать.

Коэффициент простоя станка в системе обслуживания

К2 = = 0,1008.

Это означает, что 10,08 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 9.

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих)

М3 = × Рk = 1,1907.

Это означает, что из двух человек в среднем один всегда свободен, а другой свободен в течение 18,6 % времени.

Коэффициент простоя рабочего

К3 = = 0,595.

Это означает, что в среднем каждый рабочий 59,5 % рабочего времени простаивает без работы.

Результаты расчетов представлены в таблице 2.2.

 

Для автоматизации расчёта характеристик многоканальной замкнутой системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП PRIMA. Выбор вида модели осуществляется в закладке Параметры и завершается нажатием кнопки Выбор (рис. 49).

 

 

Рис. 49. Выбор модели СМО


Таблица 2.2

Число требований, k Число требований, ожидающих обслуживания, k - n Число свободных рабочих, n - k и Рk=bk×Р0 (k-n) Рk k×Рk (n-k) Рk
- 0,4106 - - 0,8212
- 0,9 0,3695 - 0,3695 0,3695
2 - - 0,36 0,1478 - 0,2956 -
- 0,126 0,0517 0,0517 0,1551 -
- 0,0378 0,0155 0,031 0,062 -
- 0,00945 0,00388 0,01164 0,0194 -
- 0,00189 0,000776 0,003104 0,004656 -
- 0,0002835 0,0001164 0,000582 0,0008148 -
- 0,0002835 0,0000116 0,0000696 0,0000928 -
- 0,0000014175 0,0000005 0,0000035 0,0000045 -
S - - 2,43545 - 0,098 0,907 1,1907

В качестве исходных данных многоканальной замкнутой модели СМО следует ввести интенсивность входного потока требований и интенсивность обслуживания, число каналов обслуживания и число источников требований (максимально возможное число заявок в системе (рис. 50).

 

 

Рис. 50. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму

 

Результаты расчёта характеристик замкнутой многоканальной системы массового обслуживания представлены на рис. 51.

 

Рис. 51. Расчёт характеристик замкнутой СМО

 

 

Принятие решения о выборе оптимальной системы массового обслуживания требует многократного расчёта параметров системы массового обслуживания при изменении значений исходных данных. Выбор оптимального (рационального) варианта осуществляется согласно принятому критерию эффективности. Так, величина затрат, связанных с пребыванием в очереди одного требования (заявки) имеет вид

,

где С - величина затрат, связанных с пребыванием в очереди одного требования, ден.ед./час; n – число каналов обслуживания; l - интенсивность входного потока, заявок/час; Соб - издержки, связанные с пребыванием в очереди одного требования, ден.ед./час; tоч – среднее время ожидания в очереди, час; Соч – затраты на содержание обслуживающего устройства (канала).

 

 

Тема 3. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Важнейшим условием нормального развития национального хозяйства является сбалансированность общественного производства на всех уровнях. Эффективным аппаратом для определения сбалансированных пропорций развития являются балансовые модели производства и распределения продукции. Использование балансовых моделей помогает органам государственного управления экономикой способствовать предупреждению возникновения диспропорций в развитии отраслей национальной экономики.

Балансовые модели составляются для экономических систем разных уровней. Например, на уровне национального хозяйства используется модель межотраслевого баланса производства и распределения продукции, а на уровне предприятия – модель межпродуктового баланса.

Суть балансовой модели состоит в том, что затраты должны компенсироваться доходами. Данный метод позволяет для каждой отрасли определить количество продукции, которое она должна выпустить, чтобы удовлетворить потребность всех других отраслей, включая непроизводственную сферу и потребности внешней торговли. Рассмотрим балансовую модель в стоимостном выражении.