Коефіцієнти парної кореляції і детермінації

 

Для кількісної оцінки щільності (сили) лінійної залежності між двома змінними і використовується коефіцієнт лінійної парної кореляції, запропонований Ф. Гальтоном у 1877 р. Цей найпростіший критерій для кількісної оцінки зв‘язку між двома змінними можна визначити за декількома по суті тотожними формулами. Найбільш зручною, особливо при розрахунках вручну на калькуляторі, є така

(2.1)

Різниця у чисельнику є ознакою наявності кореляційної залежності між і . Якщо >, маємо пряму, додатну залежність, якщо, навпаки, <- зворотну, від‘ємну. У випадку, якщо середній добуток змінних дорівнює добутку їх середніх арифметичних значень, =, зв’язку між змінними немає.

Доведено, що набуває значення від –1 до +1, а за абсолютною величиною він завжди знаходиться в межах 0<<1. Коли коефіцієнт кореляції за абсолютною величиною прямує до 1, це свідчить про наявність сильного зв’язку. У випадках, коли він прямує до 0, маємо слабкий зв‘язок. Для якісної оцінки сили зв’язку можна користуватися шкалою:

 

Абсолютне значення	Якісна оцінка сили зв‘язку
	Немає
0-0,25	Слабка
0,26-0,5	Помірна
0,51-0,75	Сильна
0,76-1,00	Дуже сильна
	Абсолютна

 

Коли =1, це свідчить про наявність однозначної (детермінованої, функціональної) залежності від . Залежна змінна у такому випадку є функцією виключно даного фактора, ніякі інші фактори на неї не впливають.

Зауважимо, що коефіцієнт кореляції є індикатором тільки на лінійну залежність. Тому коли =0, це не значить, що між змінними взагалі немає зв’язку. На рис. 3.1 показано випадок, коли коефіцієнт кореляції може дорівнювати нулю, хоча залежність дуже сильна, але вона криволінійна (параболічна).

y

Рис. 2.1− Залежність коефіцієнта кореляції від форми зв’язку

Коефіцієнт детермінації (його ще позначають ) є квадратом коефіцієнта кореляції

. (2.2)

Цей коефіцієнт означає питому вагу дисперсії залежної змінної, яка пояснюється впливом даного фактора, в загальній дисперсії залежної змінної. Цю властивість коефіцієнта детермінації можна довести, але не станемо цього робити.

Повернемося до нашого прикладу і розрахуємо коефіцієнти кореляції між рентабельністю і енергоозброєністю та постійністю ПВП. Попередньо визначимо середні добутки змінних (табл. 2.1)за даними табл.1.2. (без аномального об’єкта № 13).

 

Таблиця 2.1− Розрахунок середніх добутків змінних

j	PE	PK	EK
	10,05	308,2	69,0
	12,41	357,7	83,3
	73,60	782,0	435,2
…	…	…	…
	41,40	469,2	229,5
	85,20	672,0	397,6
	49,40	570,0	312,0
Сума	1425,26	17413,9	8567,7
Середнє	49,1469	600,4793	295,4379

 

Тепер за даними табл. 1.5 і 2.1 за формулою (2.1) розрахуємо коефіцієнти кореляції:

;

.

Коефіцієнти детермінації за формулою (2.2) складають відповідно =0,724 і .

Отримані коефіцієнти кореляції і детермінації свідчать, що обидва фактори дуже сильно (Е) і сильно (К) впливають на рентабельність.

Наперед підкреслимо, що для випадку множинної кореляції, коли оцінюється сила впливу на залежну змінну одночасно декількох факторів, формулу (2.2) для визначення коефіцієнта детермінації від одного окремого фактора застосовувати не можна.

Зауважимо ще раз, що коефіцієнт лінійної парної кореляції при криволінійних формах зв’язку між і не використовується. До щойно наведених зауважень ми повернемося пізніше.