Аналітичні форми рівнянь регресії

 

В економетричному моделюванні часто і обґрунтовано застосовують лінійні форми рівнянь регресії як парні (прості),

, (2.1.2)

так і багатофакторні

. (2.1.3)

У цих рівняннях, як ми вже знаємо, параметр означає величину у, яка не залежить від варіації незалежних змінних і обумовлюється іншими факторами. Його називають у парній регресії перетином. Параметри визначають зміну у при зміні на одну одиницю. У парній регресії його називають нахилом (див. рис. 2.3).

 

Рис. 2.3 − Параметри парної лінійної регресії

 

Дійсно, – це відрізок до точки перетину лінії регресії з віссю у , а - тангенс кута нахилу лінії регресії до вісі х. У множинній регресії такі назви параметрів (перетин, нахил) не прийнятні, бо в даному разі ми маємо не площину, а багатовимірний простір.

Розрізняють два види (класи) нелінійних регресій. До першого належать регресії, що нелінійні за факторами , але лінійні відносно параметрів , які підлягають оцінюванню. Такі регресії називаються квазілінійними. До квазілінійних регресій відносяться, наприклад, параболічні другого порядку (квадратичні)

 

(2.14)

 

і гіперболічні (зворотні)

 

. (2.15)

 

За допомогою парної регресії квадратичної форми можна апроксиміювати прискорене або уповільнене зростання, а також прискорене або уповільнене падіння у при збільшенні х. Парабола другого порядку має вершину, тобто точку насичення зростання або падіння, після якої тенденція зміни у змінюється на симетрично протилежну. Парабола третього порядку має S – подібну форму з двома точками насичення.

Парна гіперболічна регресія придатна для апроксиміювання уповільненого падіння у при зростанні х і має лінію насичення .

Другий клас нелінійних регресій складають суттєво нелінійні регресії, що характеризуються нелінійністю за своїми параметрами. До них належать часто використовувані степенева

 

; (2.16)

 

і показникова форми

 

; . (2.17)

 

Парні степеневі й показникові форми регресії придатні для апроксиміювання прискореного або уповільненого зростання, а також прискореного або уповільненого падіння залежної змінної, але ці тенденції не обмежені, як у параболи другого порядку, насичення відсутнє.

В окремих випадках застосовують більш складні форми суттєво нелінійної регресії:

· модифікована експонента

 

, (2.18)

 

· крива Гомперця

 

, (2.19)

 

· логістична крива (крива Перла-Ріда)

 

. (2.20)

 

У цих формах і – невідомі параметри рівняння регресії, що підлягають оцінюванню.

На рис. 2.4 наведені приклади графіків криволінійних форм парної регресії (для >0; x>0):

 

 

1/2 а0

Рис. 2.4 − Графіки квазілінійних і суттєво нелінійних форм залежностей