Гетероскедастичність

Нагадаємо, що припущення 3 про гомоскедастичність залишків еj полягає в тому, що De = = const, тобто що De ≠ f(xi).

б)
а)
Досить простим і наочним методом тестування припущення про наявність або відсутність гомоскедастичності є візуальний аналіз полів кореляції. На рис. 3.2, а спостерігається гомоскедастичність, а на рис. 3.2, б – найбільш поширений вид гетероскедастичності. Очевидно, що в останньому випадку = f (x).

 

 

Рис. 3.2 − Графічні ознаки

відсутності й наявності гетероскедастичності

 

Серед аналітичних тестів наявності (відсутності) гетероскедастичності найпростішим є тест рангової кореляції Спірмана

rs = 1 – , (3.10)

де – різниця в рангах незалежної змінної xj і залишку еj. Для множинної кореляції, врховуючи, що xi це x1 , x2 , …, xm і те, що у = f (x1 , x2 , …, xm), замість xi можна без суттєвої помилки ранжувати yj.

Спочатку ранжуємо yj від найменшого до найбільшого значень і присвоюємо їм ранги від 1 до n, потім визначаємо за тим же принципом ранги відповідних еj і, нарешті, знаходимо різниці в рангах для кожної пари yj і еj , тобто dj.

Для нашого наскрізного прикладу такі розрахунки наведені в табл. 3.2.

Таблиця 3.2 − Розрахунок dj для визначення коефіцієнта рангової кореляції Спірмана

j Pj Ранг Pj еj Ранг еj dj
6,7 – 0,14 – 3
7,3 0,15 – 3
11,5 0,19
… … … … … … …
12,0 0,90
9,5 – 0,56 – 4
∑ 282,6 – – –

 

За даними табл. 3.2 коефіцієнт рангової кореляції у нашому прикладі становить за формулою (3.10)

= 1 – = 0,14

 

Перевіримо значущість отриманого коефіцієнта рангової кореляції за t – статистикою Стьюдента. Для цього визначимо t – статистику за формулою

t = , (3.11)

де – коефіцієнт рангової кореляції, і порівняємо його з критичним за таблицею t – розподілу Стьюдента (додаток 3). Якщо t ≤ tкр, то коефіцієнт рангової кореляції є незначущим і гетероскедастичність залишків еj вважається відсутньою і навпаки.

У нашому прикладі за формулою (3.11) маємо

t = = = 0,734.

За додатком 3 визначаємо при числі ступенів свободи 29 – 2 – 1 = 26 і P = 0,95, що tкр = 2,05. Отже залишки еj в моделі (3.3) гомоскедастичні, тому що 0,734 < 2,05. Таким чином, за тестуванням на наявність гетероскедастичності параметри моделі (3.3) незміщені, обгрунтовані і ефективні.